Matematica prima superiore: il programma capitolo per capitolo e come affrontarlo

La matematica della prima superiore è l'anno in cui cambia tutto: si passa dai numeri alle lettere, dai calcoli ai ragionamenti, e il ritmo è molto più veloce delle medie. Qui trovi il programma completo capitolo per capitolo (vale per licei e istituti tecnici), cosa serve davvero per non restare indietro, quali argomenti fanno più paura e perché, come distribuire lo studio nell'anno e, per ogni argomento, la spiegazione dettagliata con esercizi svolti.

Com'è fatto l'anno

Il programma di prima si regge su quattro blocchi:

1. I numeri: si riprende tutto quello che sai dalle medie, ma con più rigore.
2. Insiemi, logica e funzioni: il linguaggio della matematica.
3. Il calcolo letterale e le equazioni: il cuore dell'anno, quello che pesa di più sul voto.
4. Geometria e statistica: di solito in parallelo, con ore dedicate.

Gli argomenti sono quasi gli stessi in tutti gli indirizzi, perché le indicazioni nazionali per il primo biennio sono simili. Cambiano la profondità e i tempi: al liceo scientifico si fanno più teoria, logica e dimostrazioni; negli istituti tecnici si insiste di più sul calcolo e sui problemi. L'ordine dei capitoli può cambiare da scuola a scuola: segui sempre quello del tuo professore.

Il programma capitolo per capitolo

1. I numeri naturali

Le potenze e le loro proprietà, le espressioni con l'ordine giusto delle operazioni, la divisibilità, i criteri di divisibilità, i numeri primi, la scomposizione in fattori primi e il calcolo di M.C.D. e m.c.m.. Per le potenze c'è una guida a parte: proprietà delle potenze.

2. I numeri interi

I numeri relativi: valore assoluto, somma algebrica, regola dei segni, potenze con base negativa ed espressioni. Sembra un capitolo facile, ma è qui che nascono gli errori di segno che ti porterai dietro tutto l'anno.

3. I numeri razionali

Frazioni equivalenti, confronto, le quattro operazioni e le espressioni con le frazioni, le potenze con esponente negativo, i numeri decimali e la frazione generatrice, le proporzioni, la percentuale e la notazione scientifica. Spesso si chiude con la dimostrazione che $\sqrt{2}$ non è un numero razionale.

4. Insiemi e logica

Gli insiemi e le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano), poi la logica matematica: proposizioni, connettivi, tavole di verità e quantificatori. Pochi calcoli, molte definizioni: è un capitolo dove si prendono bei voti se si studia la teoria.

5. Relazioni e funzioni

Le relazioni e le loro proprietà, le funzioni e la distinzione tra funzioni iniettive, suriettive e biiettive, il piano cartesiano con i grafici e la proporzionalità diretta e inversa.

6. I monomi

Cos'è un monomio, grado, monomi simili, somma algebrica, prodotto, quoziente, potenza, M.C.D. e m.c.m. tra monomi. È la porta d'ingresso del calcolo letterale: se zoppica qui, zoppica tutto quello che viene dopo.

7. Polinomi e prodotti notevoli

I polinomi e le operazioni, i prodotti notevoli (quadrato di binomio, somma per differenza, quadrato di trinomio, cubo di binomio e triangolo di Tartaglia), la divisione tra polinomi, la regola di Ruffini e il teorema del resto. Per fare pratica sui prodotti notevoli ci sono gli esercizi svolti sui prodotti notevoli.

8. Scomposizione e frazioni algebriche

La scomposizione dei polinomi: raccoglimento totale e parziale, differenza di quadrati, quadrato e cubo di binomio al contrario, somma e differenza di cubi, trinomio caratteristico, scomposizione con Ruffini. Poi le frazioni algebriche, con le condizioni di esistenza, la semplificazione e le operazioni.

9. Equazioni di primo grado

Identità ed equazioni, principi di equivalenza, le equazioni di primo grado intere (determinate, impossibili, indeterminate), quelle con i denominatori, la legge di annullamento del prodotto, le equazioni fratte e le equazioni letterali. Si chiude con i problemi con le equazioni.

10. Disequazioni di primo grado

Disuguaglianze e intervalli, le disequazioni di primo grado intere, i sistemi di disequazioni e le disequazioni fratte con lo studio del segno. In alcune scuole questo capitolo slitta all'inizio della seconda superiore, insieme ai sistemi di equazioni.

11. Statistica

Dati e frequenze, grafici, media, mediana e moda, indici di variabilità. È spesso l'ultimo capitolo dell'anno, a volte fatto di corsa o rimandato.

12 e 13. Geometria

Enti primitivi, assiomi e teoremi, segmenti e angoli, i triangoli e i criteri di congruenza dei triangoli, il triangolo isoscele, il teorema dell'angolo esterno. Poi rette perpendicolari e parallele, la somma degli angoli di un triangolo, i triangoli rettangoli, i quadrilateri e il piccolo teorema di Talete. Il teorema di Pitagora lo conosci dalle medie, ma qui torna in tanti esercizi.

Cosa serve davvero per non restare indietro

La matematica di prima è una scala: ogni gradino si appoggia su quello sotto. Se un gradino manca, il problema non si vede subito, ma salta fuori due capitoli dopo. Le basi che contano di più sono tre.

• I segni. Un meno sbagliato in un'espressione con i numeri relativi diventa un meno sbagliato nei monomi, poi nei prodotti notevoli, poi nelle equazioni.
• Le frazioni. Le frazioni algebriche, le equazioni con i denominatori e le fratte sono le stesse regole delle frazioni numeriche, solo con le lettere.
• Le potenze. Monomi e polinomi sono fatti di potenze: se non sono automatiche, ogni esercizio richiede il doppio del tempo.

Un mini test per capire da dove partire

Prova a fare questi cinque esercizi senza calcolatrice. Se qualcuno ti blocca, sai già cosa ripassare.

1. Quanto fa $2^3\cdot 2^2$?

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Stessa base: si sommano gli esponenti. $2^3\cdot 2^2=2^5=32$. Se non ti torna, ripassa le proprietà delle potenze.

2. Quanto fanno $-3^2$ e $(-3{)}^2$?

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$-3^2=-9$, perché l'esponente si applica solo al 3 e il meno resta fuori. $(-3{)}^2=9$, perché si eleva al quadrato tutto il $-3$. È uno degli errori più comuni: trovi il perché nei numeri relativi.

3. Calcola $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

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Il m.c.m. dei denominatori è 6: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Se hai scritto $\frac{2}{5}$, hai sommato numeratori e denominatori: vai alle espressioni con le frazioni.

4. Sviluppa $(x+3{)}^2$.

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$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$. Se hai scritto $x^2+9$, ti sei perso il doppio prodotto $2\cdot x\cdot 3=6x$: è il primo dei prodotti notevoli.

5. Risolvi $3(x-1)=x+5$.

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$3x-3=x+5\Rightarrow 3x-x=5+3\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. Controllo: $3\cdot (4-1)=9$ e $4+5=9$. Il metodo passo per passo è nelle equazioni di primo grado.

I primi tre sono roba delle medie e vengono ripresi a inizio anno; gli ultimi due sono l'obiettivo del primo quadrimestre. Su potenze, frazioni, M.C.D. e m.c.m., monomi ed equazioni puoi allenarti con esercizi sempre nuovi e la correzione immediata.

Gli argomenti che fanno più paura (e perché)

La scomposizione dei polinomi. È il capitolo che separa chi ha capito da chi ha imparato a memoria. Non c'è una formula unica: davanti a un polinomio devi riconoscere quale metodo usare, e spesso più di uno in fila. La soluzione è avere una strategia fissa (prima il raccoglimento totale, poi si contano i termini) e fare tanti esercizi misti, non solo quelli del paragrafo appena spiegato.

Frazioni algebriche ed equazioni fratte. Mettono insieme scomposizione, m.c.m. tra polinomi e condizioni di esistenza. Un errore di segno in un fattore e la verifica è compromessa. Qui conta l'ordine: scomponi tutti i denominatori, scrivi le C.E., solo dopo calcoli.

I problemi con le equazioni. L'equazione di solito è facile; il difficile è scriverla. Aiuta molto scegliere bene l'incognita, scrivere a parole cosa rappresenta e controllare alla fine che la soluzione abbia senso (un numero di persone non può essere negativo).

Le dimostrazioni di geometria. Per chi arriva dalle medie è una cosa nuova: non si calcola, si ragiona. Si impara scrivendo sempre ipotesi e tesi, segnando sulla figura cosa si sa e chiedendosi quale criterio di congruenza si può usare.

Come organizzarsi nell'anno

Ogni classe ha i suoi tempi, ma una distribuzione tipica è questa.

Qualche regola che funziona:

• Poco ma spesso. Mezz'ora quasi tutti i giorni vale più di tre ore la sera prima. La matematica si dimentica in fretta se la lasci ferma.
• Controlla ogni esercizio. Fare dieci esercizi sbagliati senza accorgersene insegna l'errore, non la regola.
• Tieni un quaderno degli errori. Ogni volta che sbagli, scrivi l'errore e la versione giusta. Prima della verifica, rileggi quello.
• Ripassa a ritroso. Se un argomento nuovo non torna, il problema è quasi sempre in quello prima.

Per la settimana prima del compito, c'è una guida dedicata: come prepararsi alla verifica di matematica.

Il libro, se ti serve tutto in un posto

Appunti Vivi ha preparato un libro pensato per questo anno: Appunti illustrati di Matematica per la Prima Superiore. Segue il programma dei tredici capitoli qui sopra in 92 schede a colori, una cosa per pagina: lo schema della regola, esempi svolti, gli errori da verifica corretti, esercizi con le soluzioni e una verifica lampo con il voto. Ogni pagina ha un QR che porta alla videolezione di quella scheda. Non sostituisce il libro di testo né il professore: serve per ripassare in fretta e per capire un argomento quando in classe è andato troppo veloce.

Da dove partire adesso

Se hai una verifica a breve, apri l'articolo dell'argomento e vai diretto agli esercizi con le soluzioni. Se invece stai iniziando l'anno, parti dai numeri relativi e dalle espressioni con le frazioni: sono le due basi che, se sistemate a settembre, ti fanno risparmiare fatica fino a giugno. E se il calcolo letterale ti spaventa, il percorso giusto è monomi, poi prodotti notevoli, poi scomposizione dei polinomi, in quest'ordine.