Percentuale: come si calcola (sconti, aumenti, percentuale inversa) con esempi

La percentuale si calcola con una regola sola: il p per cento di un numero è quel numero moltiplicato per p e diviso per 100. Il resto (sconti, aumenti, «che percentuale è», percentuale inversa, sconti uno sopra l'altro) è la stessa regola girata in modi diversi. Qui trovi tutti i casi con esempi presi dalla vita di tutti i giorni, i trucchi per farla a mente, gli errori più comuni ed esercizi con la soluzione.

Che cos'è la percentuale

«Per cento» vuol dire «su cento». Il 20% è una frazione con denominatore 100:

$$20\%=\frac{20}{100}=0,20$$

Quindi una percentuale si può scrivere in tre modi equivalenti: con il simbolo (20%), come frazione ($\frac{20}{100}$, che semplificata è $\frac{1}{5}$) o come numero decimale (0,20). Saper passare da una forma all'altra è metà del lavoro:

Le tre formule della percentuale

In ogni problema di percentuale ci sono tre numeri: il totale, la parte e la percentuale $p$. Se ne conosci due, trovi il terzo. Le formule vengono tutte da una sola proporzione:

$$\text{parte}:\text{totale}=p:100$$

Se non ricordi le formule, scrivi direttamente la proporzione. Per sapere che percentuale è 18 rispetto a 24:

$$18:24=x:100\Rightarrow x=\frac{18\cdot 100}{24}=75$$

Quindi 18 è il 75% di 24. La x sta sempre al posto del numero che cerchi, e il 100 sta sempre sotto la percentuale.

Tre esempi, uno per formula:

• Il 20% di 45 è $\frac{45\cdot 20}{100}=9$.
• In una verifica a quiz hai risposto giusto a 27 domande su 30: $\frac{27}{30}\cdot 100=90\%$.
• Il 35% di un numero è 14: il numero è $\frac{14\cdot 100}{35}=40$.

Il trucco per farla a mente

Sconto e aumento: il moltiplicatore

Il caso più cercato è lo sconto. Un giubbotto costa 40 euro ed è scontato del 25%. Puoi farlo in due passaggi:

1. calcoli lo sconto: il 25% di 40 è $40\cdot 0,25=10$ euro;
2. lo togli dal prezzo: $40-10=30$ euro.

Oppure in un passaggio solo. Se togli il 25%, paghi il $100\%-25\%=75\%$ del prezzo:

$$40\cdot 0,75=30\text{ euro}$$

Il numero 0,75 si chiama moltiplicatore. Con l'aumento è uguale, solo che il moltiplicatore è più grande di 1. Un abbonamento da 80 euro aumenta del 15%:

$$80\cdot 1,15=92\text{ euro}$$

Il moltiplicatore sembra un dettaglio, ma è quello che ti salva nei due casi difficili: la percentuale inversa e gli aumenti successivi.

La percentuale inversa: trovare il prezzo prima dello sconto

Dopo uno sconto del 20% hai pagato un paio di scarpe 64 euro. Quanto costavano prima?

Il prezzo pieno moltiplicato per 0,80 dà 64. Quindi per tornare indietro dividi per lo stesso moltiplicatore:

$$64:0,80=80\text{ euro}$$

Controllo: il 20% di 80 è 16, e $80-16=64$. Torna.

Stessa cosa con l'IVA. Uno scontrino dice 122 euro IVA inclusa, con l'IVA al 22%. Il prezzo senza IVA è $122:1,22=100$ euro.

Aumenti e sconti successivi

Un prezzo aumenta del 10% e poi, l'anno dopo, di un altro 10%. L'aumento totale è del 20%? No. Il secondo aumento si calcola sul prezzo già aumentato, quindi i moltiplicatori si moltiplicano:

$$1,10\cdot 1,10=1,21$$

L'aumento totale è del 21%. Ancora più sorprendente: se un prezzo aumenta del 20% e poi cala del 20%, non torna dov'era:

$$1,20\cdot 0,80=0,96$$

Alla fine il prezzo è il 96% di quello iniziale, cioè è sceso del 4%. E il classico dei saldi: «sconto del 30% più un ulteriore 20% alla cassa» dà $0,70\cdot 0,80=0,56$. Paghi il 56% del prezzo: lo sconto vero è del 44%, non del 50%.

La variazione percentuale

Per dire di quanto è cambiato un valore in percentuale:

$$\text{variazione}=\frac{\text{nuovo}-\text{vecchio}}{\text{vecchio}}\cdot 100$$

Un biglietto passa da 50 a 60 euro: $\frac{60-50}{50}\cdot 100=+20\%$. Se invece torna da 60 a 50: $\frac{50-60}{60}\cdot 100\approx -16,7\%$. La differenza in euro è la stessa (10), ma la base è diversa, quindi la percentuale cambia.

Percentuale o punti percentuali?

Quando il valore che cambia è già una percentuale, bisogna fare attenzione alle parole. Se gli studenti promossi a giugno passano dal 40% al 50% di una scuola, si dice che sono aumentati di 10 punti percentuali (la semplice differenza, $50-40$). Ma in percentuale sono aumentati del 25%, perché $\frac{50-40}{40}\cdot 100=25\%$. Sono due informazioni diverse, entrambe vere. Nei giornali e nelle verifiche di statistica capita spesso di trovarle mescolate.

Percentuali oltre il 100%

Una percentuale può superare il 100%. Se un abbonamento passa da 20 a 50 euro, l'aumento è di 30 euro, cioè $\frac{30}{20}\cdot 100=150\%$: il nuovo prezzo è il 250% di quello vecchio (moltiplicatore 2,5). Uno sconto, invece, non può superare il 100%: sconto del 100% vuol dire gratis.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Esercizio 1. Calcola il 30% di 250.

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$250\cdot 0,30=75$. (A mente: il 10% è 25, il 30% è il triplo, 75.)

Esercizio 2. Che percentuale è 12 rispetto a 48?

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$\frac{12}{48}\cdot 100=0,25\cdot 100=25\%$.

Esercizio 3. In una classe di 25 studenti, 9 hanno preso più di 7. Che percentuale della classe è?

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$\frac{9}{25}\cdot 100=36\%$.

Livello medio

Esercizio 4. Il 35% di un numero è 14. Qual è il numero?

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$\text{totale}=\frac{14\cdot 100}{35}=\frac{1400}{35}=40$. Controllo: il 35% di 40 è $40\cdot 0,35=14$.

Esercizio 5. Una bici costa 320 euro ed è scontata del 15%. Quanto la paghi?

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Moltiplicatore: $1-0,15=0,85$. Prezzo: $320\cdot 0,85=272$ euro (lo sconto è di 48 euro).

Esercizio 6. Un abbonamento da 25 euro al mese aumenta dell'8%. Quanto costa ora?

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$25\cdot 1,08=27$ euro.

Esercizio 7. Un prezzo passa da 75 a 90 euro. Di quanto è aumentato in percentuale?

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$\frac{90-75}{75}\cdot 100=\frac{15}{75}\cdot 100=20\%$.

Livello verifica

Esercizio 8. Dopo uno sconto del 40% paghi una felpa 54 euro. Quanto costava a prezzo pieno?

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Il moltiplicatore dello sconto è 0,60, quindi $54:0,60=90$ euro. Controllo: il 40% di 90 è 36, e $90-36=54$.

Esercizio 9. Uno scontrino riporta 61 euro IVA inclusa, con IVA al 22%. Qual è il prezzo senza IVA?

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$61:1,22=50$ euro. Controllo: il 22% di 50 è 11, e $50+11=61$.

Esercizio 10. Un prezzo aumenta del 25% e poi viene scontato del 20%. Alla fine è più alto, più basso o uguale a quello iniziale?

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Moltiplichi i moltiplicatori: $1,25\cdot 0,80=1$. Il prezzo torna esattamente quello iniziale. Esempio con 100 euro: diventa 125, poi $125\cdot 0,80=100$.

Esercizio 11. Lo stipendio di un apprendista aumenta del 10% il primo anno e del 20% il secondo. Di quanto è aumentato in tutto? Se all'inizio era di 1200 euro, quanto è alla fine?

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• Moltiplicatore totale: $1,10\cdot 1,20=1,32$, quindi l'aumento totale è del 32% (non del 30%).
• Stipendio finale: $1200\cdot 1,32=1584$ euro. Controllo a passi: $1200\cdot 1,10=1320$, poi $1320\cdot 1,20=1584$.

Percentuali e il resto del programma

La percentuale è una proporzione travestita, quindi se ti blocchi conviene ripassare le proporzioni e i conti con le frazioni nelle espressioni con le frazioni. Nei testi di verifica le percentuali compaiono spesso dentro i problemi con le equazioni («il prezzo aumentato del 10% è 66 euro: qual era il prezzo?») e in statistica, quando si leggono tabelle e grafici: le trovi accanto a media, mediana e moda.