Espressioni con le frazioni: come si risolvono, con 16 esempi svolti passo per passo

Le espressioni con le frazioni fanno paura solo finché non hai un metodo: una volta capito l'ordine delle operazioni e i tre trucchi (m.c.m. per sommare, reciproco per dividere, semplificare appena puoi), diventano una serie di passaggi piccoli e sicuri. Qui trovi il metodo, sedici espressioni svolte dalla più facile a quella da verifica, gli errori che costano punti e dieci esercizi con soluzione.

Il metodo in 4 regole

Prima di partire, ripassiamo le quattro operazioni una per una: le espressioni sono solo queste operazioni messe in fila.

Le operazioni con le frazioni

Addizione e sottrazione. Serve lo stesso denominatore. Lo trovi con il minimo comune multiplo (se ti serve un ripasso, c'è l'articolo su m.c.m. e M.C.D.): dividi il m.c.m. per ogni denominatore e moltiplichi per il numeratore.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Perché funziona? Mezza pizza e un terzo di pizza non si sommano finché le fette non hanno la stessa grandezza. Tagliando tutto in sesti, mezza pizza diventa 3 fette e un terzo diventa 2 fette: in tutto 5 fette da un sesto.

Moltiplicazione. Numeratore per numeratore, denominatore per denominatore. Prima però semplifica in croce, così lavori con numeri piccoli.

Divisione. Dividere per una frazione è come moltiplicare per il suo reciproco, cioè la frazione capovolta: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$.

Potenza. Elevi numeratore e denominatore: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$. Con l'esponente negativo prima capovolgi la frazione: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$. Tutte le regole sono nell'articolo sulle proprietà delle potenze.

Espressioni svolte: livello base

Esempio 1

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

Il m.c.m. di 2 e 3 è 6. Quindi $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.

Esempio 2

$$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$$

1. Il m.c.m. di 4, 3 e 6 è 12.
2. $\frac{9}{12}-\frac{8}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9-8+2}{12}=\frac{3}{12}$.
3. Semplifichi per 3: $\frac{1}{4}$.

Esempio 3

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}$$

1. Semplifichi in croce: il 2 con il 4 (diventano 1 e 2), il 9 con il 3 (diventano 3 e 1).
2. Resta $\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.

Esempio 4

$$\frac{5}{6}:\frac{10}{9}$$

1. Reciproco: $\frac{5}{6}\cdot \frac{9}{10}$.
2. In croce: 5 con 10 (1 e 2), 9 con 6 (3 e 2).
3. $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.

Esempio 5

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}$$

1. La moltiplicazione viene prima: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
2. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Espressioni svolte: livello medio

Esempio 6

$$\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{10}{3}$$

1. Tonda, m.c.m. 10: $\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}$.
2. $\frac{1}{10}\cdot \frac{10}{3}=\frac{1}{3}$.

Esempio 7

$$\left(2-\frac{1}{3}\right):\left(1+\frac{2}{3}\right)$$

1. Prima tonda: $\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$.
2. Seconda tonda: $\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$.
3. $\frac{5}{3}:\frac{5}{3}=1$, perché un numero diviso per se stesso fa 1.

Esempio 8

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}$$

1. Potenza: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.
2. Tonda, m.c.m. 6: $\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
3. Prodotto: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.
4. Somma: $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$.

Esempio 9

$$-\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{6}\right)\cdot 3$$

1. Tonda, m.c.m. 6: $\frac{3}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$.
2. Prodotto: $-\frac{1}{3}\cdot 3=-1$.
3. $-\frac{2}{3}-1=-\frac{2}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{5}{3}$.

Qui servono le regole dei segni: se ti sono poco chiare, ripassa i numeri relativi.

Esempio 10

$$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$$

Una frazione «a più piani» è una divisione: il numeratore diviso il denominatore.

1. Sopra: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
2. Sotto: $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
3. $\frac{3}{2}:\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=2$.

Espressioni svolte: livello verifica

Esempio 11

$$\left[\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right]:\frac{5}{6}$$

1. Tonda: $\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$.
2. Nella quadra, prima il prodotto: $\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{3}$.
3. Poi la somma: $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$.
4. $1:\frac{5}{6}=1\cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{5}$.

Esempio 12

$$\left\{\left[{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}^2:\frac{9}{8}\right]-\frac{1}{3}\right\}\cdot 6$$

1. Tonda: $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
2. Potenza: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.
3. Quadra: $\frac{9}{16}:\frac{9}{8}=\frac{9}{16}\cdot \frac{8}{9}=\frac{1}{2}$.
4. Graffa: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$.
5. $\frac{1}{6}\cdot 6=1$.

Esempio 13

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-2$$

1. Esponente negativo: capovolgi, ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.
2. Tonda: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
3. Prodotto: $\frac{9}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{16}$.
4. $\frac{27}{16}-2=\frac{27}{16}-\frac{32}{16}=-\frac{5}{16}$.

Esempio 14

$${\left(\frac{3}{4}\right)}^5:{\left(\frac{3}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^2$$

Non calcolare ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5$: usa le proprietà.

1. Stessa base: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{5-3}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$.
2. Stesso esponente: ${\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\right)}^2=1^2=1$.

Frazioni e numeri decimali nella stessa espressione

A volte nell'espressione compaiono insieme frazioni e numeri con la virgola. La strada più sicura è trasformare i decimali in frazioni: un numero decimale finito si scrive con 10, 100 o 1000 sotto, poi si semplifica.

Conviene conoscere a memoria queste quattro: tornano continuamente.

Esempio 15

$$0,5+\frac{3}{4}\cdot 0,2$$

1. Trasformi i decimali: $0,5=\frac{1}{2}$ e $0,2=\frac{1}{5}$.
2. Prima il prodotto: $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{20}$.
3. Somma, m.c.m. 20: $\frac{10}{20}+\frac{3}{20}=\frac{13}{20}$.

Se avessi trasformato tutto in decimali, $\frac{3}{4}=0,75$ e il conto sarebbe $0,5+0,15=0,65$, che è proprio $\frac{13}{20}$. Funziona, ma solo perché qui i decimali sono finiti: con $\frac{1}{3}$ non ci riusciresti.

Esempio 16

$$0,\overline{3}+\frac{1}{6}$$

Il numero $0,\overline{3}$ è periodico: il 3 si ripete all'infinito. La sua frazione generatrice è $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ (per un periodico semplice scrivi il periodo sopra e tanti 9 quante sono le cifre del periodo sotto).

1. $0,\overline{3}=\frac{1}{3}$.
2. m.c.m. 6: $\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Qui i decimali non ti avrebbero aiutato: $0,333\dots +0,1666\dots$ non si somma a mano senza approssimare. Con le frazioni il risultato è esatto.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola $\frac{2}{5}+\frac{3}{10}$.

Mostra la soluzione

m.c.m. 10: $\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$.

2. Calcola $\frac{7}{8}-\frac{1}{4}$.

Mostra la soluzione

m.c.m. 8: $\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$.

3. Calcola $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}$ e $\frac{3}{7}:\frac{9}{14}$.

Mostra la soluzione

• In croce: 4 con 8 (1 e 2), 3 con 9 (1 e 3): $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.
• Reciproco: $\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{9}$; 3 con 9 (1 e 3), 14 con 7 (2 e 1): $\frac{2}{3}$.

Livello medio

4. Calcola $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{6}{5}$.

Mostra la soluzione

1. Tonda: $\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$.
2. $\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5}=1$.

5. Calcola $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}:\frac{2}{3}$.

Mostra la soluzione

1. Prima la divisione: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.
2. $\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0$.

6. Calcola ${\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{3}{4}$.

Mostra la soluzione

1. Tonda: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. Potenza: $\frac{1}{4}$.
3. $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.

Livello verifica

7. Calcola $\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{4}{5}-\frac{1}{2}\right]:\frac{1}{4}$.

Mostra la soluzione

1. Tonda: $\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
2. Prodotto: $\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
3. Quadra: $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$.
4. $\frac{1}{6}\cdot 4=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

8. Calcola $\left\{\left[{\left(1-\frac{3}{4}\right)}^2\cdot 8\right]+\frac{1}{2}\right\}:{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$.

Mostra la soluzione

1. Tonda: $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, al quadrato $\frac{1}{16}$.
2. Quadra: $\frac{1}{16}\cdot 8=\frac{1}{2}$.
3. Graffa: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
4. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$, quindi $1:\frac{9}{4}=\frac{4}{9}$.

9. Calcola ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot \left(\frac{4}{3}-2\right)+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}:5$.

Mostra la soluzione

1. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$ (esponente dispari).
2. Tonda: $\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}$.
3. Prodotto: $\left(-\frac{1}{8}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=+\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.
4. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{2}$, e $\frac{5}{2}:5=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{2}$.
5. $\frac{1}{12}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}+\frac{6}{12}=\frac{7}{12}$.

10. Calcola $\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$.

Mostra la soluzione

1. Sopra: $\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
2. Sotto: $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
3. $\frac{3}{2}:\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=2$.

Dopo le frazioni

Il metodo che hai appena usato non lo butti via: lo ritrovi pari pari con le lettere. Le frazioni algebriche si sommano con il m.c.m. dei denominatori e si dividono con il reciproco, esattamente come qui, e le equazioni di primo grado con i coefficienti frazionari si risolvono proprio mettendo tutto allo stesso denominatore. Se nelle tue espressioni compaiono anche percentuali o rapporti, dai un'occhiata alle proporzioni. E per allenarti su espressioni sempre diverse, con la correzione passo per passo, usa Allenati online.