m.c.m. e M.C.D.: come si calcolano, con esempi, problemi ed esercizi svolti

Il m.c.m. e il M.C.D. si calcolano entrambi scomponendo i numeri in fattori primi: poi per il M.C.D. prendi i fattori comuni con l'esponente più piccolo, per il m.c.m. prendi fattori comuni e non comuni con l'esponente più grande. Qui trovi il perché di questa regola (così non la confondi più), l'algoritmo di Euclide per i numeri grandi, i problemi tipici che finiscono in verifica e dieci esercizi con soluzione.

Che cosa sono m.c.m. e M.C.D.

Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il numero più grande che li divide tutti. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12; quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18. In comune hanno 1, 2, 3, 6: il più grande è 6, quindi $\text{M.C.D.}(12,18)=6$.

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) è il numero più piccolo, diverso da zero, che è multiplo di tutti. I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48…; quelli di 18 sono 18, 36, 54… Il primo in comune è 36, quindi $\text{m.c.m.}(12,18)=36$.

Fare gli elenchi va bene con numeri piccoli, ma con 252 e 198 diventa un incubo. Per questo si usa la scomposizione.

La regola con la scomposizione in fattori primi

Prima scomponi ogni numero in fattori primi (dividi per 2 finché puoi, poi per 3, per 5 e così via: i criteri di divisibilità ti dicono subito per cosa provare). Ad esempio:

$$12=2^2\cdot 318=2\cdot 3^2$$

Con 12 e 18:

$$\text{M.C.D.}=2\cdot 3=6\text{m.c.m.}=2^2\cdot 3^2=36$$

Perché funziona

Un divisore di 12 è fatto solo con «pezzi» di 12. Per dividere sia 12 sia 18 deve usare solo pezzi che stanno in tutti e due, e non più di quanti ce ne sono nel numero che ne ha di meno: il 2 compare due volte in 12 ma una sola in 18, quindi ne puoi prendere uno solo.

Un multiplo, al contrario, deve contenere entrambi i numeri. Deve avere dentro tutti i pezzi di 12 e tutti quelli di 18, quindi per ogni fattore prendi la quantità più grande: due 2 (per far contenere il 12) e due 3 (per far contenere il 18).

Esempi svolti

Esempio 1: due numeri

Calcola M.C.D. e m.c.m. di 60 e 84.

1. Scomponi: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ e $84=2^2\cdot 3\cdot 7$.
2. Fattori comuni: 2 e 3. M.C.D. $=2^2\cdot 3=12$.
3. Tutti i fattori: 2, 3, 5, 7. m.c.m. $=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$.

Esempio 2: tre numeri

Calcola M.C.D. e m.c.m. di 24, 36 e 60.

1. Scomponi: $24=2^3\cdot 3$, $36=2^2\cdot 3^2$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$.
2. Comuni a tutti e tre: 2 e 3. Esponenti più piccoli: $2^2$ e $3$. M.C.D. $=12$.
3. Tutti: 2, 3, 5. Esponenti più grandi: $2^3$, $3^2$, $5$. m.c.m. $=8\cdot 9\cdot 5=360$.

Il 5 non entra nel M.C.D. perché manca in 24 e in 36: deve essere comune a tutti.

Esempio 3: una verifica veloce

Per due numeri vale sempre:

$$\text{M.C.D.}(a,b)\cdot \text{m.c.m.}(a,b)=a\cdot b$$

Con 12 e 18: $6\cdot 36=216$ e $12\cdot 18=216$. Se i tuoi conti non tornano, hai sbagliato qualcosa. Attenzione: con tre numeri questa regola non vale.

L'algoritmo di Euclide

Quando i numeri sono grandi e scomporli è faticoso, il M.C.D. si trova con l'algoritmo di Euclide: dividi il più grande per il più piccolo, poi il divisore per il resto, e continui finché il resto è zero. L'ultimo resto diverso da zero è il M.C.D.

Calcola il M.C.D. di 252 e 198:

L'ultimo resto non nullo è 18, quindi $\text{M.C.D.}(252,198)=18$. Controlla con la scomposizione: $252=2^2\cdot 3^2\cdot 7$ e $198=2\cdot 3^2\cdot 11$, comuni $2\cdot 3^2=18$.

Perché funziona? Un numero che divide 252 e 198 divide anche la loro differenza, e quindi anche il resto 54. I divisori comuni restano gli stessi a ogni passaggio, ma i numeri diventano sempre più piccoli.

Problemi con m.c.m. e M.C.D.

La parte più difficile non è il calcolo: è capire quale dei due serve.

Problema 1 (m.c.m.)

Due autobus partono insieme dal capolinea alle 8:00. Il primo riparte ogni 12 minuti, il secondo ogni 18. A che ora ripartono di nuovo insieme?

Le partenze del primo sono i multipli di 12, quelle del secondo i multipli di 18. Ti serve il primo multiplo in comune: $\text{m.c.m.}(12,18)=36$. Ripartono insieme dopo 36 minuti, alle 8:36.

Problema 2 (M.C.D.)

Hai due nastri, uno di 48 cm e uno di 72 cm. Vuoi tagliarli in pezzi tutti uguali, i più lunghi possibile, senza avanzi. Quanto è lungo ogni pezzo e quanti pezzi ottieni?

La lunghezza deve dividere sia 48 sia 72, e deve essere la più grande: $\text{M.C.D.}(48,72)=24$. Ogni pezzo è lungo 24 cm: dal primo nastro ne ottieni 2, dal secondo 3, in tutto 5 pezzi.

Problema 3 (M.C.D.)

Un pavimento rettangolare misura 360 cm per 480 cm. Vuoi coprirlo con piastrelle quadrate tutte uguali, le più grandi possibile, senza tagliarle. Quanto è il lato e quante piastrelle servono?

Il lato deve dividere 360 e 480: $\text{M.C.D.}(360,480)=120$. Le piastrelle hanno lato 120 cm: ne stanno 3 in larghezza e 4 in lunghezza, in tutto 12 piastrelle.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola M.C.D. e m.c.m. di 8 e 12.

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$8=2^3$ e $12=2^2\cdot 3$. M.C.D. $=2^2=4$. m.c.m. $=2^3\cdot 3=24$.

2. Calcola M.C.D. e m.c.m. di 15 e 28.

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$15=3\cdot 5$ e $28=2^2\cdot 7$. Nessun fattore comune: M.C.D. $=1$, sono primi tra loro. m.c.m. $=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$.

3. Calcola M.C.D. e m.c.m. di 36 e 48.

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$36=2^2\cdot 3^2$ e $48=2^4\cdot 3$. M.C.D. $=2^2\cdot 3=12$. m.c.m. $=2^4\cdot 3^2=144$.

Livello medio

4. Calcola M.C.D. e m.c.m. di 18, 30 e 45.

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$18=2\cdot 3^2$, $30=2\cdot 3\cdot 5$, $45=3^2\cdot 5$.

• Comune a tutti è solo il 3, con esponente minimo 1: M.C.D. $=3$.
• m.c.m. $=2\cdot 3^2\cdot 5=90$.

5. Calcola M.C.D. e m.c.m. di 120 e 126.

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$120=2^3\cdot 3\cdot 5$ e $126=2\cdot 3^2\cdot 7$.

• M.C.D. $=2\cdot 3=6$.
• m.c.m. $=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520$.

6. Con l'algoritmo di Euclide, calcola il M.C.D. di 391 e 323.

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1. $391=1\cdot 323+68$
2. $323=4\cdot 68+51$
3. $68=1\cdot 51+17$
4. $51=3\cdot 17+0$

M.C.D. $=17$.

Livello verifica

7. Tre luci lampeggiano insieme. Poi la prima lampeggia ogni 6 secondi, la seconda ogni 8 e la terza ogni 10. Dopo quanto tempo lampeggiano di nuovo tutte insieme?

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Ti serve il primo multiplo comune: m.c.m.$(6,8,10)$. Con $6=2\cdot 3$, $8=2^3$, $10=2\cdot 5$ ottieni $2^3\cdot 3\cdot 5=120$. Lampeggiano insieme dopo 120 secondi, cioè 2 minuti.

8. Un fiorista ha 84 rose e 60 tulipani. Vuole fare il maggior numero possibile di mazzi tutti uguali, usando tutti i fiori. Quanti mazzi fa e come è fatto ciascuno?

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Il numero di mazzi deve dividere 84 e 60 ed essere il più grande: M.C.D.$(84,60)=12$, perché $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ e $60=2^2\cdot 3\cdot 5$. Fa 12 mazzi, ognuno con $84:12=7$ rose e $60:12=5$ tulipani.

9. Il M.C.D. di due numeri è 6 e il loro m.c.m. è 180. Uno dei due numeri è 36: qual è l'altro?

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Per due numeri M.C.D. $\cdot$ m.c.m. $=$ prodotto dei numeri: $6\cdot 180=1080$. L'altro numero è $1080:36=30$. Controllo: $36=2^2\cdot 3^2$ e $30=2\cdot 3\cdot 5$, M.C.D. $=6$ e m.c.m. $=180$.

Dove ti servono

Il m.c.m. lo userai quasi ogni giorno senza accorgertene: è il denominatore comune che serve per sommare le frazioni nelle espressioni con le frazioni, e più avanti nelle frazioni algebriche, dove si calcola allo stesso modo ma con i polinomi scomposti. Per scomporre in fretta ti aiutano i criteri di divisibilità, e se vuoi capire bene perché ogni numero ha una sola scomposizione, leggi l'articolo sui numeri primi. Per allenarti su M.C.D. e m.c.m. con numeri sempre nuovi c'è Allenati online.