Numeri primi: cosa sono, elenco fino a 100 e come riconoscerli

I numeri primi sono i numeri naturali maggiori di 1 che si possono dividere esattamente solo per 1 e per se stessi: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e così via. Sono i «mattoncini» con cui si costruiscono tutti gli altri numeri, ed è per questo che servono per semplificare le frazioni, calcolare m.c.m. e M.C.D. e scomporre. Qui trovi la definizione spiegata bene, l'elenco fino a 100, il metodo per capire se un numero è primo, gli errori tipici e dieci esercizi con soluzione.

Che cos'è un numero primo

Il 7 è primo: lo dividono solo 1 e 7. Il 6 è composto: lo dividono 1, 2, 3 e 6. Pensa a delle mattonelle: con 6 mattonelle puoi fare un rettangolo $2\times 3$, con 7 puoi fare solo una fila lunga $1\times 7$. I numeri primi sono quelli che non riesci a sistemare in nessun rettangolo vero.

Due casi speciali da sapere:

• 1 non è primo: ha un solo divisore, se stesso. Non è nemmeno composto: è un caso a parte.
• 2 è primo ed è l'unico primo pari. Ogni altro numero pari è divisibile per 2, quindi ha almeno tre divisori: 1, 2 e se stesso.

I numeri primi fino a 100

Sono 25:

Non serve impararli tutti a memoria, ma almeno quelli fino a 30 sì: li userai in continuazione per scomporre.

Il crivello di Eratostene

È il modo più antico (e il più semplice) per trovarli. Scrivi i numeri da 2 a 100 in una griglia e poi:

1. il 2 è primo: lo cerchi e cancelli tutti i suoi multipli (4, 6, 8…);
2. il primo numero non cancellato è il 3: lo cerchi e cancelli i suoi multipli (6, 9, 12…);
3. poi il 5, poi il 7, con lo stesso metodo;
4. dopo il 7 puoi fermarti: tutti i numeri rimasti sono primi.

Perché fermarsi al 7? Il primo successivo è 11, e $11\cdot 11=121$ è già oltre 100. Ogni numero composto fino a 100 ha per forza un fattore tra 2, 3, 5 e 7, quindi è già stato cancellato.

Come capire se un numero è primo

Il crivello ti fa venire in mente il metodo giusto per qualsiasi numero.

Il motivo: se $n$ fosse il prodotto di due numeri, almeno uno dei due sarebbe piccolo, non più grande di quel numero che moltiplicato per se stesso dà $n$. Se non hai trovato divisori tra i piccoli, non ce ne sono nemmeno tra i grandi.

Esempio 1: 97

Provi 2 (è dispari: no), 3 (somma delle cifre 16: no), 5 (non finisce con 0 o 5: no), 7 ($97=7\cdot 13+6$: no). Il primo successivo è 11, ma $11^2=121>97$: puoi fermarti. 97 è primo.

Esempio 2: 91

Sembra primo, ed è proprio il numero che i prof amano mettere in verifica. Provi 2, 3 e 5: niente. Provi 7: $91=7\cdot 13$. 91 è composto.

Esempio 3: 221

Provi 2, 3, 5, 7, 11: nessuno lo divide. Provi 13: $221=13\cdot 17$. 221 è composto, anche se ti è servito arrivare fino al 13.

Per fare le prove in fretta ti servono i criteri di divisibilità: per 2, 3 e 5 li applichi a colpo d'occhio, per 7 e 11 ci sono regole un po' più lunghe.

La scomposizione in fattori primi

Ogni numero maggiore di 1 si può scrivere come prodotto di numeri primi, e in un solo modo (a parte l'ordine dei fattori). È il teorema fondamentale dell'aritmetica, e il motivo per cui i primi sono così importanti.

Per scomporre dividi per il primo più piccolo possibile, e continui finché arrivi a 1. Ad esempio con 360:

Quindi $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Le potenze servono a scriverlo in modo compatto: se ti serve un ripasso, c'è l'articolo sulle proprietà delle potenze.

Dalla scomposizione puoi anche contare i divisori: aggiungi 1 a ogni esponente e moltiplichi. Per $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5^1$ ottieni $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ divisori.

Numeri primi tra loro e altre curiosità

Due numeri si dicono primi tra loro (o coprimi) se non hanno nessun fattore primo in comune, cioè se il loro M.C.D. è 1. Attenzione: non devono essere primi loro! 35 e 64 sono entrambi composti ($35=5\cdot 7$, $64=2^6$), ma sono primi tra loro. Il calcolo del M.C.D. lo trovi spiegato nell'articolo su m.c.m. e M.C.D..

I primi gemelli sono coppie di primi che differiscono di 2: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73). Nessuno sa ancora se siano infiniti: è uno dei problemi aperti più famosi della matematica.

I numeri primi invece sono infiniti, e lo ha dimostrato Euclide. L'idea: prendi un elenco di primi, moltiplicali e aggiungi 1. Il numero che ottieni, diviso per ognuno di quei primi, dà resto 1, quindi i suoi fattori primi sono primi nuovi, che mancavano nell'elenco. Con 2, 3 e 5 ottieni $2\cdot 3\cdot 5+1=31$, che è primo. Con 2, 3, 5, 7, 11, 13 ottieni 30.031, che non è primo, ma è $59\cdot 509$: due primi che non erano nell'elenco. Qualunque elenco prendi, ne manca sempre qualcuno.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Quali di questi numeri sono primi? 51, 53, 57, 59, 87, 89, 91.

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Primi: 53, 59, 89. Composti: $51=3\cdot 17$, $57=3\cdot 19$, $87=3\cdot 29$, $91=7\cdot 13$.

2. Scomponi in fattori primi 84, 210 e 1.000.

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• $84=2^2\cdot 3\cdot 7$
• $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$
• $1000=2^3\cdot 5^3$

3. Perché un numero maggiore di 5 che finisce con 5 non può essere primo?

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Perché è divisibile per 5. Ha quindi almeno tre divisori: 1, 5 e se stesso.

Livello medio

4. Scomponi in fattori primi 693.

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1. Somma delle cifre 18: divisibile per 9. $693:9=77$.
2. $77=7\cdot 11$.
3. Quindi $693=3^2\cdot 7\cdot 11$.

5. 143 è primo?

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Non è divisibile per 2, 3, 5, 7. Provi 11: $143=11\cdot 13$. È composto.

6. Scrivi tutti i numeri primi tra 100 e 120.

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101, 103, 107, 109, 113. Gli altri dispari sono composti: $105=3\cdot 5\cdot 7$, $111=3\cdot 37$, $115=5\cdot 23$, $117=3^2\cdot 13$, $119=7\cdot 17$.

Livello verifica

7. 211 è primo? Fino a quale primo devi provare?

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$13^2=169<211$ e $17^2=289>211$, quindi provi i primi fino a 13: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Nessuno divide 211, quindi 211 è primo.

8. Quanti divisori ha 72? Scrivili tutti.

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$72=2^3\cdot 3^2$, quindi i divisori sono $(3+1)(2+1)=12$: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

9. 35 e 64 sono primi tra loro? Sono numeri primi?

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$35=5\cdot 7$ e $64=2^6$: non hanno fattori in comune, quindi M.C.D. $=1$ e sono primi tra loro. Però nessuno dei due è un numero primo: sono entrambi composti.

10. Qual è il più piccolo numero naturale che ha esattamente tre divisori?

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È 4, con divisori 1, 2, 4. In generale hanno tre divisori solo i quadrati di un numero primo, come $4=2^2$, $9=3^2$, $25=5^2$: con un solo esponente uguale a 2 la formula dà $2+1=3$.

Dove li userai

I numeri primi sono la base di tutto il primo capitolo di aritmetica. Con la scomposizione calcoli m.c.m. e M.C.D., e con il m.c.m. sommi le frazioni nelle espressioni con le frazioni. Per fare le prove di divisione senza perdere tempo, tieni a portata di mano i criteri di divisibilità. E se vuoi esercitarti sul M.C.D. e sul m.c.m. con numeri sempre nuovi, prova Allenati online.