Criteri di divisibilità: tutte le regole da 2 a 25, con il perché ed esercizi

I criteri di divisibilità sono regole che ti dicono se un numero è divisibile per un altro senza fare la divisione: ti basta guardare l'ultima cifra, le ultime due, o la somma delle cifre. Servono per semplificare le frazioni e per scomporre in fattori primi in pochi secondi. Qui trovi tutti i criteri da 2 a 25 con il perché funzionano, una tabella da ripassare, gli errori tipici e dieci esercizi con soluzione.

Che cosa vuol dire «divisibile»

Un numero $a$ è divisibile per $b$ quando la divisione $a:b$ ha resto zero. In altre parole, $a$ è un multiplo di $b$. Ad esempio 36 è divisibile per 4 perché $36=4\cdot 9$, mentre 38 non lo è perché $38:4$ fa 9 con resto 2.

Fare tutte le divisioni a mano è lento. I criteri sono scorciatoie, e ognuno ha un motivo preciso: se capisci il motivo, non lo dimentichi più.

I criteri di divisibilità più usati

Per 2, 5 e 10: basta l'ultima cifra

Ogni numero si scrive come «decine più unità»: $4536=4530+6$. La parte $4530$ è un multiplo di 10, quindi è divisibile per 2, per 5 e per 10. Resta da controllare solo l'ultima cifra, il 6: è pari, quindi 4.536 è divisibile per 2. Non finisce con 0 o 5, quindi non è divisibile né per 5 né per 10.

Per 4 e per 25: le ultime due cifre

Stessa idea, ma con le centinaia: $100=4\cdot 25$, quindi ogni multiplo di 100 è divisibile per 4 e per 25. Ti basta guardare le ultime due cifre. 4.536 finisce con 36, e $36=4\cdot 9$: è divisibile per 4. 1.350 finisce con 50: è divisibile per 25.

Per 8: le ultime tre cifre

Siccome $1000=8\cdot 125$, per l'8 guardi le ultime tre cifre. 4.536 finisce con 536, e $536=8\cdot 67$: è divisibile per 8.

Per 3 e per 9: la somma delle cifre

Qui il motivo è più furbo. Scrivi il numero così:

$$4536=4\cdot 1000+5\cdot 100+3\cdot 10+6=4\cdot 999+5\cdot 99+3\cdot 9+(4+5+3+6)$$

I numeri 9, 99, 999 sono tutti divisibili per 9 (e quindi per 3). Quello che conta è solo la parte tra parentesi, cioè la somma delle cifre: $4+5+3+6=18$. Siccome 18 è divisibile per 9, anche 4.536 è divisibile per 9 e per 3.

Criteri composti: per 6, 12, 15, 18

Per alcuni numeri basta unire due criteri:

• per 6: divisibile per 2 e per 3;
• per 12: divisibile per 3 e per 4;
• per 15: divisibile per 3 e per 5;
• per 18: divisibile per 2 e per 9.

Funziona solo perché le due coppie non hanno fattori in comune (sono primi tra loro). Con 2 e 4 non funziona: 12 è divisibile per 2 e per 4, ma non per 8. 4.536 invece è divisibile per 2 e per 3, quindi per 6, e per 3 e per 4, quindi per 12.

Criteri per 7 e per 11

Per 11: somma a segni alterni

Parti dall'ultima cifra a destra e alterna i segni: più, meno, più, meno… Se il risultato è 0 o un multiplo di 11 (anche negativo), il numero è divisibile per 11.

• 7.425: $5-2+4-7=0$, divisibile per 11 (infatti $7425=11\cdot 675$).
• 8.294: $4-9+2-8=-11$, divisibile per 11 ($8294=11\cdot 754$).
• 4.536: $6-3+5-4=4$, non divisibile per 11.

Il motivo assomiglia a quello del 9: $10=11-1$, quindi le potenze di 10 «valgono» alternativamente $+1$ e $-1$ quando dividi per 11.

Per 7: togli e raddoppia

Togli l'ultima cifra, raddoppiala e sottraila al numero che resta. Se ottieni un multiplo di 7 (anche 0), il numero è divisibile per 7. Se il numero è ancora grande, ripeti.

• 343: $34-2\cdot 3=28$, multiplo di 7. Divisibile.
• 2.198: $219-16=203$, poi $20-6=14$, multiplo di 7. Divisibile ($2198=7\cdot 314$).

È un criterio più lento degli altri: con numeri di tre cifre spesso fai prima la divisione.

Tabella riassuntiva

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Per quali tra 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 è divisibile 1.350?

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• Ultima cifra 0: divisibile per 2, per 5 e per 10.
• Somma delle cifre $1+3+5+0=9$: divisibile per 3 e per 9.
• Ultime due cifre 50: non divisibile per 4.
• $0-5+3-1=-3$: non divisibile per 11.

2. Per quali tra 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 è divisibile 7.425?

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• Ultima cifra 5: divisibile per 5, non per 2, 4, 10.
• Somma delle cifre 18: divisibile per 3 e per 9.
• $5-2+4-7=0$: divisibile per 11.

3. Per quali tra 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 è divisibile 2.024?

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• Ultima cifra 4: divisibile per 2. Ultime due cifre 24: divisibile per 4.
• Somma delle cifre 8: non divisibile per 3 né per 9.
• Non finisce con 0 o 5: non divisibile per 5 né per 10.
• $4-2+0-2=0$: divisibile per 11.

Livello medio

4. 9.988 è divisibile per 11? E per 4?

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• $8-8+9-9=0$: sì, divisibile per 11 ($9988=11\cdot 908$).
• Ultime due cifre 88 $=4\cdot 22$: sì, divisibile per 4.

5. Quale cifra puoi mettere al posto di $x$ perché il numero $52x$ sia divisibile per 3? E per 9?

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La somma delle cifre è $5+2+x=7+x$.

• Per 3: $7+x$ deve essere 9, 12 o 15, quindi $x=2$, $5$ oppure $8$.
• Per 9: $7+x=9$, quindi solo $x=2$ (il numero 522).

6. 2.198 è divisibile per 7?

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$219-2\cdot 8=203$, poi $20-2\cdot 3=14$, che è multiplo di 7. Sì: $2198=7\cdot 314$.

Livello verifica

7. Trova la cifra $x$ perché $4x8$ sia divisibile per 9. Il numero che ottieni è divisibile anche per 36?

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1. Somma delle cifre: $4+x+8=12+x$. Il multiplo di 9 possibile è 18, quindi $x=6$: il numero è 468.
2. Per 36 servono 4 e 9 (sono primi tra loro). Le ultime due cifre 68 $=4\cdot 17$: divisibile per 4.
3. Quindi 468 è divisibile per 36: $468=36\cdot 13$.

8. Dimostra che 1.001 è divisibile sia per 7 sia per 11.

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• Per 11: $1-0+0-1=0$. Divisibile.
• Per 7: $100-2\cdot 1=98=7\cdot 14$. Divisibile.

Infatti $1001=7\cdot 11\cdot 13$.

9. Vero o falso? «Ogni numero divisibile per 9 è divisibile per 3» e «ogni numero divisibile per 3 è divisibile per 9».

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• La prima è vera: se la somma delle cifre è multiplo di 9, è anche multiplo di 3 (perché $9=3\cdot 3$).
• La seconda è falsa: 12 è divisibile per 3 ma non per 9.

10. Semplifica la frazione $\frac{1350}{2025}$ usando i criteri.

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1. Entrambi finiscono con 50 e 25: dividi per 25. $\frac{1350}{2025}=\frac{54}{81}$.
2. Somme delle cifre 9 e 9: dividi per 9. $\frac{54}{81}=\frac{6}{9}$.
3. Dividi per 3: $\frac{2}{3}$.

A cosa servono davvero

I criteri sono lo strumento che usi per scomporre un numero: provi a dividere per 2, poi per 3, poi per 5, e ogni volta il criterio ti dice subito se ha senso. Così arrivi in fretta ai numeri primi che compongono il numero, e da lì al calcolo di m.c.m. e M.C.D.. Li usi anche per semplificare al volo le frazioni nelle espressioni con le frazioni, dove una frazione ridotta subito ti risparmia conti enormi dopo. Per allenarti sulle frazioni e sul M.C.D. c'è Allenati online.