Proprietà delle potenze: le 5 regole spiegate semplici, con espressioni svolte

Le proprietà delle potenze sono cinque regole che ti fanno risparmiare un sacco di conti: invece di calcolare $2^5\cdot 2^3$ moltiplicando tutto, scrivi subito $2^8$. Qui trovi le cinque regole con il perché (così non le confondi), i casi speciali con esponente zero e negativo, gli errori che costano punti in verifica, quattro espressioni svolte e dieci esercizi con soluzione.

Che cos'è una potenza

Una potenza è una moltiplicazione ripetuta. In $a^n$ il numero $a$ si chiama base e $n$ si chiama esponente: l'esponente dice quante volte la base compare come fattore.

$$2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$$

Tutte le proprietà vengono da qui. Se ti ricordi che una potenza è «tanti fattori uguali messi in fila», le regole le puoi ricostruire da solo anche quando l'ansia della verifica te le fa dimenticare.

Due casi da sapere a memoria:

• $a^1=a$: un solo fattore, il numero stesso;
• $a^0=1$ per ogni $a\ne 0$ (il perché lo vedi più sotto). La scrittura $0^0$ non ha significato.

Le 5 proprietà delle potenze

Perché gli esponenti si sommano

$2^3\cdot 2^4$ vuol dire tre fattori 2 seguiti da altri quattro fattori 2. In tutto sono sette:

$$2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^7=128$$

Perché nel quoziente si sottraggono

In $5^6:5^4$ scrivi la divisione come frazione: sopra hai sei fattori 5, sotto quattro. Quattro si semplificano e sopra ne restano due:

$$5^6:5^4=5^{6-4}=5^2=25$$

Da qui viene anche $a^0=1$. Prendi $5^4:5^4$: con la regola fa $5^0$, ma un numero diviso per se stesso fa 1. Quindi $5^0=1$.

Perché nella potenza di potenza si moltiplicano

$(3^2{)}^3$ vuol dire $3^2$ preso tre volte: $3^2\cdot 3^2\cdot 3^2$. Sono tre gruppi da due fattori, cioè sei fattori:

$$(3^2{)}^3=3^{2\cdot 3}=3^6=729$$

Stesso esponente: si lavora sulle basi

Quando gli esponenti sono uguali e le basi diverse, unisci le basi:

$$2^3\cdot 5^3=(2\cdot 5{)}^3=10^3=100012^4:4^4=(12:4{)}^4=3^4=81$$

Questa regola è comodissima: $2^3\cdot 5^3$ si fa a mente, mentre $8\cdot 125$ richiede un conto.

Potenze con base negativa ed esponente negativo

Base negativa

Con una base negativa conta il segno, e il segno dipende dall'esponente:

• esponente pari, risultato positivo: $(-3{)}^2=+9$;
• esponente dispari, risultato negativo: $(-3{)}^3=-27$.

Senza parentesi la base è solo il numero: $-3^2=-9$. Se vuoi ripassare le regole dei segni, le trovi nell'articolo sui numeri relativi.

Esponente negativo

Un esponente negativo non rende il numero negativo. Vuol dire «prendi il reciproco della base e usa l'esponente positivo»:

$$a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n{2}^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$$

Il perché è lo stesso di $a^0$: $2^2:2^5=2^{-3}$, ma come frazione è $\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$. Le cinque proprietà valgono anche con gli esponenti negativi, e con le basi che sono frazioni: le usi spesso nelle espressioni con le frazioni.

Il trucco della stessa base

Spesso le basi sembrano diverse ma non lo sono davvero. 4, 8, 16 e 32 sono tutte potenze di 2; 9, 27 e 81 sono potenze di 3; 25 e 125 sono potenze di 5. Se riscrivi ogni numero come potenza della stessa base, le proprietà tornano a funzionare.

$$4^3\cdot 8^2:2^{10}$$

1. Riscrivi le basi: $4=2^2$ e $8=2^3$.
2. Potenza di potenza: $4^3=(2^2{)}^3=2^6$ e $8^2=(2^3{)}^2=2^6$.
3. Stessa base: $2^6\cdot 2^6:2^{10}=2^{6+6-10}=2^2=4$.

Un altro esempio, con le potenze di 3:

$$9^2\cdot 27:3^5=3^4\cdot 3^3:3^5=3^{4+3-5}=3^2=9$$

Per accorgertene in fretta, conviene sapere a memoria le prime potenze di 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256), di 3 (3, 9, 27, 81, 243) e di 5 (5, 25, 125, 625). Se un numero non è una potenza «pulita», scomponilo in fattori primi: il metodo è spiegato nell'articolo sui numeri primi.

Potenze di 10 e notazione scientifica

Le potenze di 10 sono le più facili: l'esponente dice quanti zeri scrivere. $10^3=1000$, $10^6=1000000$. Con l'esponente negativo ottieni i decimali: $10^{-2}=\frac{1}{100}=0,01$.

Su questo si basa la notazione scientifica, che scrive un numero come un numero tra 1 e 10 per una potenza di 10. Così $320000=3,2\cdot 10^5$ e $0,00045=4,5\cdot 10^{-4}$. Per moltiplicare o dividere numeri scritti così, lavori separatamente sui numeri e sulle potenze di 10, con le proprietà che conosci:

$$(2\cdot 10^3)\cdot (4\cdot 10^5)=8\cdot 10^{3+5}=8\cdot 10^8$$

$$(6\cdot 10^8):(3\cdot 10^{-2})=2\cdot 10^{8-(-2)}=2\cdot 10^{10}$$

Attenzione al secondo: sottrarre un esponente negativo vuol dire sommarlo, proprio come con i numeri relativi.

Espressioni con le potenze svolte

L'idea è sempre la stessa: prima porti tutto alla stessa base (o allo stesso esponente), poi applichi le proprietà dall'interno verso l'esterno. Calcoli il numero solo alla fine.

Esempio 1

$$[(2^5\cdot 2^3):2^6{]}^2:2^3$$

1. Tonda: $2^5\cdot 2^3=2^8$.
2. Quadra: $2^8:2^6=2^2$.
3. Potenza di potenza: $(2^2{)}^2=2^4$.
4. $2^4:2^3=2^1=2$.

Esempio 2

$$(3^4\cdot 3^2{)}^2:(3^5{)}^2\cdot 3^0$$

1. $3^4\cdot 3^2=3^6$, poi $(3^6{)}^2=3^{12}$.
2. $(3^5{)}^2=3^{10}$.
3. $3^{12}:3^{10}=3^2$, e $3^0=1$.
4. $3^2\cdot 1=9$.

Esempio 3

$$6^3\cdot 2^3:4^3$$

1. Gli esponenti sono tutti 3: lavori sulle basi. $6^3\cdot 2^3=12^3$.
2. $12^3:4^3=(12:4{)}^3=3^3=27$.

Esempio 4

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$$

1. Stessa base, sommi gli esponenti: $4+(-2)=2$.
2. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola $7^5:7^3$.

Mostra la soluzione

Stessa base, sottrai gli esponenti: $7^{5-3}=7^2=49$.

2. Calcola $(2^3{)}^2\cdot 2^2$.

Mostra la soluzione

$(2^3{)}^2=2^6$, poi $2^6\cdot 2^2=2^8=256$.

3. Calcola $15^3:5^3$.

Mostra la soluzione

Stesso esponente: $(15:5{)}^3=3^3=27$.

Livello medio

4. Calcola $4^3\cdot 25^3$.

Mostra la soluzione

Stesso esponente: $(4\cdot 25{)}^3=100^3=1000000$.

5. Calcola $(-2{)}^3\cdot (-2{)}^2$.

Mostra la soluzione

Stessa base $-2$: $(-2{)}^{3+2}=(-2{)}^5=-32$ (esponente dispari, risultato negativo).

6. Calcola $2^{-1}+2^{-2}$.

Mostra la soluzione

Qui c'è una somma: niente proprietà, calcoli ogni potenza.

• $2^{-1}=\frac{1}{2}$ e $2^{-2}=\frac{1}{4}$.
• $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

7. Semplifica $(a^3{)}^2\cdot a^4:a^7$ (con $a\ne 0$).

Mostra la soluzione

$(a^3{)}^2=a^6$, poi $a^6\cdot a^4=a^{10}$, infine $a^{10}:a^7=a^3$.

Livello verifica

8. Calcola $[(5^4{)}^2:5^6{]}^3:5^5$.

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1. $(5^4{)}^2=5^8$.
2. $5^8:5^6=5^2$.
3. $(5^2{)}^3=5^6$.
4. $5^6:5^5=5$.

9. Calcola ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3$.

Mostra la soluzione

Stessa base, sommi gli esponenti: $-2+3=1$. Risultato: $\frac{3}{2}$.

10. Calcola $(6^5:6^3):(2^2\cdot 3^2)$.

Mostra la soluzione

1. $6^5:6^3=6^2$.
2. $2^2\cdot 3^2=(2\cdot 3{)}^2=6^2$.
3. $6^2:6^2=6^0=1$.

Dove ritrovi le potenze

Le proprietà delle potenze sono il motore di mezzo programma. Le usi per scomporre un numero in numeri primi e trovare m.c.m. e M.C.D., dove scegli l'esponente più grande o più piccolo di ogni fattore. Tornano identiche nei monomi, dove $x^2\cdot x^3=x^5$ funziona esattamente come con i numeri, e nei prodotti notevoli. Per fissarle davvero servono tanti esercizi diversi: su Allenati online ne trovi di sempre nuovi, corretti con i passaggi.