Matematica · Calcolo letterale

Monomi: cosa sono, grado e operazioni, con esempi ed esercizi svolti

I monomi spiegati semplici: parte numerica e letterale, grado, monomi simili, somma, prodotto, quoziente, potenza, M.C.D. e m.c.m., con esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 8 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Il monomio −3a²b⁵ scritto in grande con due frecce: una indica il coefficiente −3, l'altra la parte letterale a²b⁵, e sotto il grado 7 cerchiato

In breve

Un monomio è un prodotto tra un numero e una o più lettere con esponenti naturali, come −3a²b. Il numero si chiama coefficiente, le lettere sono la parte letterale e il grado è la somma degli esponenti. Si possono sommare solo i monomi simili (stessa parte letterale), mentre prodotto e potenza si fanno sempre, con le proprietà delle potenze.

I monomi sono i mattoncini del calcolo letterale: un numero moltiplicato per una o più lettere, come $- 3 a^{2} b$ . Se li sai maneggiare bene, i polinomi, i prodotti notevoli e le scomposizioni diventano molto più semplici. Qui trovi cosa sono, come si calcola il grado, quando due monomi sono simili, tutte le operazioni (somma, prodotto, quoziente, potenza, M.C.D. e m.c.m.) con esempi svolti, gli errori più comuni ed esercizi con soluzione.

Che cos'è un monomio

Un monomio è un'espressione in cui ci sono solo moltiplicazioni tra numeri e lettere, e le lettere hanno esponenti naturali ( $0, 1, 2, 3, \dots$ ).

Sono monomi: $5 x^{2} y$ , $- a$ , $\frac{2}{3} a b^{3}$ , $7$ .

Non sono monomi:

$x + y$ , perché c'è una somma (è un polinomio);
$\frac{3}{x}$ , perché c'è una lettera al denominatore;
$x^{- 2}$ , perché l'esponente è negativo.

Esempio: coefficiente, parte letterale, grado

Nel monomio $- 3 a^{2} b^{5}$ :

coefficiente: $- 3$
parte letterale: $a^{2} b^{5}$
grado complessivo: $2 + 5 = 7$
grado rispetto ad $a$ : $2$ ; rispetto a $b$ : $5$

Ricorda che quando una lettera non ha esponente scritto, l'esponente è $1$ : in $4 x y^{3}$ il grado è $1 + 3 = 4$ . E un numero diverso da zero, come $7$ , ha grado $0$ .

Ridurre un monomio a forma normale

Se un monomio è scritto "in disordine", moltiplichi tra loro i numeri e raggruppi le lettere uguali sommando gli esponenti:

2 a \cdot (- 3) b \cdot a^{2} = 2 \cdot (- 3) \cdot a \cdot a^{2} \cdot b = - 6 a^{3} b

Monomi simili, uguali e opposti

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale: stesse lettere con gli stessi esponenti. Il coefficiente può essere qualsiasi.

$3 x^{2} y$ e $- 5 x^{2} y$ sono simili;
$3 x^{2} y$ e $3 x y^{2}$ non sono simili (gli esponenti sono scambiati).

Due monomi simili sono uguali se hanno anche lo stesso coefficiente, e opposti se hanno coefficienti opposti, come $4 ab$ e $- 4 ab$ . La somma di due monomi opposti fa $0$ .

Somma algebrica di monomi

Qui sta la regola che fa più vittime: si sommano solo i monomi simili. Il risultato è un monomio con la stessa parte letterale e come coefficiente la somma dei coefficienti.

3 x^{2} y - 5 x^{2} y + x^{2} y = (3 - 5 + 1) x^{2} y = - x^{2} y

Il motivo è lo stesso per cui 3 quaderni più 5 quaderni fanno 8 quaderni: la parte letterale è "l'oggetto" che conti, il coefficiente è "quanti ne hai". Se gli oggetti sono diversi, come in $2 a + 3 b$ , non c'è niente da sommare: l'espressione resta così ed è un polinomio, che trovi spiegato nell'articolo sui polinomi.

Prodotto, quoziente e potenza di monomi

Queste tre operazioni si fanno sempre, anche tra monomi non simili. Il metodo è uguale per tutte: i numeri con i numeri, le lettere con le lettere, usando le proprietà delle potenze.

Prodotto

Moltiplichi i coefficienti e, per ogni lettera, sommi gli esponenti:

(- 2 x^{2} y) \cdot (3 x y^{3}) = (- 2 \cdot 3) \cdot x^{2 + 1} \cdot y^{1 + 3} = - 6 x^{3} y^{4}

Il grado del prodotto è la somma dei gradi: $3 + 4 = 7$ .

Quoziente

Dividi i coefficienti e, per ogni lettera, sottrai gli esponenti:

(12 a^{5} b^{3}) : (- 4 a^{2} b) = (12 : (- 4)) \cdot a^{5 - 2} \cdot b^{3 - 1} = - 3 a^{3} b^{2}

Il quoziente è un monomio solo se ogni lettera del divisore ha nel dividendo un esponente uguale o maggiore. In $(6 a^{2} b) : (3 a^{3})$ verrebbe $a^{- 1}$ , e il risultato non è un monomio.

Potenza

Elevi a potenza il coefficiente e moltiplichi ogni esponente per l'esponente della potenza:

(- 2 a^{3} b)^{3} = (- 2)^{3} \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{1 \cdot 3} = - 8 a^{9} b^{3}

Occhio al segno: un coefficiente negativo elevato a esponente pari diventa positivo, $(- 3 x^{2})^{2} = 9 x^{4}$ ; elevato a esponente dispari resta negativo.

M.C.D. e m.c.m. tra monomi

Funzionano come per i numeri (se ti serve un ripasso, c'è l'articolo su m.c.m. e M.C.D.), con una regola in più per le lettere.

Esempio

Trova M.C.D. e m.c.m. di $12 a^{3} b^{2}$ e $18 a^{2} b^{4} c$ .

numeri: M.C.D. $(12, 18) = 6$ , m.c.m. $(12, 18) = 36$
lettere comuni: $a$ e $b$ ; con l'esponente minore $a^{2} b^{2}$
tutte le lettere con l'esponente maggiore: $a^{3} b^{4} c$

M.C.D. $= 6 a^{2} b^{2}$ · m.c.m. $= 36 a^{3} b^{4} c$

Esempi svolti

Esempio 1: un'espressione con i monomi

Semplifica $(2 a^{2} b)^{2} : (4 ab) - 3 a^{3} b + (- a)^{3} b$ .

Prima le potenze: $(2 a^{2} b)^{2} = 4 a^{4} b^{2}$ e $(- a)^{3} = - a^{3}$ .
Poi la divisione: $4 a^{4} b^{2} : (4 ab) = a^{3} b$ .
Ora l'espressione è $a^{3} b - 3 a^{3} b - a^{3} b$ : sono tutti simili.
Sommi i coefficienti: $1 - 3 - 1 = - 3$ .

Risultato: $- 3 a^{3} b$

Esempio 2: coefficienti frazionari

Calcola $\frac{3}{4} x^{2} \cdot (- \frac{8}{9} x y)$ .

coefficienti: $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{8}{9}) = - \frac{24}{36} = - \frac{2}{3}$ (conviene semplificare in croce prima: $3$ con $9$ , $4$ con $8$ )
lettere: $x^{2} \cdot x \cdot y = x^{3} y$

Risultato: $- \frac{2}{3} x^{3} y$

Esempio 3: somma e prodotto nello stesso problema

Un rettangolo ha la base lunga $3 a$ e l'altezza lunga $2 a$ . Quanto valgono perimetro e area?

perimetro: $2 \cdot (3 a + 2 a) = 2 \cdot 5 a = 10 a$ . Qui sommi due monomi simili: la lettera resta $a$ .
area: $3 a \cdot 2 a = 6 a^{2}$ . Qui moltiplichi: gli esponenti si sommano e compare $a^{2}$ .

Questo esempio è utile da tenere a mente: il perimetro è una lunghezza ed è di primo grado, l'area è una superficie ed è di secondo grado. Se ti viene un'area di grado $1$ , hai sommato dove dovevi moltiplicare.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Qual è il grado di $- 7 x^{3} y^{2} z$ ? E il grado rispetto a $y$ ?

Mostra la soluzione

Grado complessivo: $3 + 2 + 1 = 6$ . Grado rispetto a $y$ : $2$ .

2. Calcola $5 a b^{2} - 8 a b^{2} + 2 a b^{2}$ .

Mostra la soluzione

Sono simili: sommi i coefficienti, $5 - 8 + 2 = - 1$ .

Risultato: $- a b^{2}$

3. Calcola $(- 15 a^{4} b^{2}) : (5 a b^{2})$ .

Mostra la soluzione

coefficienti: $- 15 : 5 = - 3$
$a^{4 - 1} = a^{3}$ ; $b^{2 - 2} = b^{0} = 1$

Risultato: $- 3 a^{3}$

Livello medio

4. Calcola $(- \frac{1}{2} x y^{2})^{3}$ .

Mostra la soluzione

$(- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{8}$ (esponente dispari: il segno resta)
$x^{3}$ e $y^{2 \cdot 3} = y^{6}$

Risultato: $- \frac{1}{8} x^{3} y^{6}$

5. Semplifica $2 x \cdot 3 x - (2 x)^{2} + x^{2}$ .

Mostra la soluzione

$2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}$
$(2 x)^{2} = 4 x^{2}$
$6 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}$

6. Il quoziente $(6 a^{2} b) : (3 a^{3})$ è un monomio?

Mostra la soluzione

No. L'esponente di $a$ nel divisore ( $3$ ) è maggiore di quello nel dividendo ( $2$ ): il risultato avrebbe $a$ al denominatore, $\frac{2 b}{a}$ , che non è un monomio.

Livello verifica

7. Semplifica $(- 2 a^{2})^{3} : (4 a^{3}) + 3 a^{3}$ .

Mostra la soluzione

$(- 2 a^{2})^{3} = - 8 a^{6}$
$- 8 a^{6} : (4 a^{3}) = - 2 a^{3}$
$- 2 a^{3} + 3 a^{3} = a^{3}$

Risultato: $a^{3}$

8. Trova M.C.D. e m.c.m. di $8 x^{2} y$ , $12 x y^{3}$ e $20 x^{3} y^{2}$ .

Mostra la soluzione

coefficienti: M.C.D. $(8, 12, 20) = 4$ ; m.c.m. $(8, 12, 20) = 120$
M.C.D.: lettere comuni con esponente minore, $x y$
m.c.m.: tutte le lettere con esponente maggiore, $x^{3} y^{3}$

M.C.D. $= 4 x y$ · m.c.m. $= 120 x^{3} y^{3}$

9. Semplifica $3 a \cdot (- 2 ab)^{2} - 5 a^{3} b^{2}$ .

Mostra la soluzione

Prima la potenza: $(- 2 ab)^{2} = 4 a^{2} b^{2}$ (esponente pari, il segno diventa più).
Poi il prodotto: $3 a \cdot 4 a^{2} b^{2} = 12 a^{3} b^{2}$ .
Infine la somma tra simili: $12 a^{3} b^{2} - 5 a^{3} b^{2} = 7 a^{3} b^{2}$ .

Risultato: $7 a^{3} b^{2}$

Dopo i monomi

Quando sommi monomi non simili ottieni un polinomio: è il passo successivo, spiegato nell'articolo sui polinomi. Da lì si arriva ai prodotti notevoli, dove tutto quello che hai visto qui (potenze dei coefficienti, segni, esponenti) torna a ogni riga. Per fissare le regole, la cosa migliore è fare tanti esercizi brevi: su Allenati online trovi quelli sui monomi, con la correzione immediata.

Domande frequenti

Che cos'è un monomio?

È un'espressione letterale fatta solo di moltiplicazioni tra numeri e lettere, in cui le lettere hanno esponenti naturali. Per esempio 5x²y è un monomio, mentre x + y non lo è perché contiene una somma. Anche un numero da solo, come 7, è un monomio.

Come si calcola il grado di un monomio?

Il grado complessivo è la somma degli esponenti di tutte le lettere. In 4a³b² il grado è 3 + 2 = 5. Il grado rispetto a una lettera è solo l'esponente di quella lettera: rispetto a b, lo stesso monomio ha grado 2. Un numero diverso da zero ha grado 0.

Quando due monomi sono simili?

Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti. Per esempio 3x²y e −5x²y sono simili, mentre 3x²y e 3xy² no. Solo i monomi simili si possono sommare in un unico monomio.

Si possono sommare due monomi non simili?

No, non in un unico monomio. Una somma come 2a + 3b resta così com'è ed è un polinomio. È come sommare 2 mele e 3 pere: puoi solo scriverlo, non ottieni 5 di qualcosa.

Il quoziente tra due monomi è sempre un monomio?

No. Lo è solo se ogni lettera del divisore compare anche nel dividendo con esponente uguale o più grande. Per esempio 6a³ diviso 2a dà 3a², che è un monomio. Invece 6a diviso 2a³ darebbe una lettera al denominatore, e il risultato non è più un monomio.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

Monomi: cosa sono, grado e operazioni, con esempi ed esercizi svolti

Che cos'è un monomio

Esempio: coefficiente, parte letterale, grado

Ridurre un monomio a forma normale

Monomi simili, uguali e opposti

Somma algebrica di monomi

Prodotto, quoziente e potenza di monomi

Prodotto

Quoziente

Potenza

M.C.D. e m.c.m. tra monomi

Esempio

Esempi svolti

Esempio 1: un'espressione con i monomi

Esempio 2: coefficienti frazionari

Esempio 3: somma e prodotto nello stesso problema

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dopo i monomi

Domande frequenti

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