Prodotti notevoli: le formule spiegate semplici, con esempi ed esercizi svolti

I prodotti notevoli sono moltiplicazioni tra polinomi che danno sempre un risultato con la stessa forma. Invece di moltiplicare termine per termine ogni volta, impari lo schema una volta sola e scrivi il risultato direttamente. Qui trovi le quattro formule che servono in prima superiore (quadrato di binomio, somma per differenza, cubo di binomio, quadrato di trinomio), il perché di ognuna, esempi svolti passo per passo, gli errori che i prof segnano in rosso ed esercizi con soluzione.

Che cosa sono i prodotti notevoli

Prendi un prodotto qualsiasi tra polinomi, per esempio $(x+3)(x+3)$. Lo sai già fare: moltiplichi ogni termine del primo per ogni termine del secondo e poi sommi i termini simili. Se ripassi come si fa, lo trovi nell'articolo sui polinomi e le loro operazioni.

Il punto è che certi prodotti tornano di continuo, sempre uguali. Fare tutti i passaggi ogni volta è lento e ogni passaggio è un'occasione per sbagliare un segno. Per questo si imparano gli schemi a memoria, ma capendoli: se sai da dove viene una formula, non la dimentichi la sera prima della verifica.

Il quadrato di binomio

Il quadrato di un binomio è il binomio moltiplicato per se stesso. Facciamo il conto una volta sola, per vedere da dove arriva la formula:

I due termini in mezzo, $ab$ e $ba$, sono uguali e si sommano: ecco il doppio prodotto $2ab$. A parole: quadrato del primo, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo.

C'è anche un modo per vederlo. Disegna un quadrato di lato $a+b$ e dividilo con due tagli: ottieni un quadrato di area $a^2$, un quadrato di area $b^2$ e due rettangoli di area $ab$. L'area totale è $a^2+2ab+b^2$. I due rettangoli sono proprio il doppio prodotto che tanti dimenticano.

Se in mezzo c'è il meno, cambia solo il segno del doppio prodotto: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. I due quadrati restano sempre positivi.

Esempio: un quadrato semplice

Esempio: con coefficienti e due lettere

In $(2a-5b{)}^2$ il primo termine è $2a$ e il secondo è $5b$, con il meno in mezzo.

• quadrato del primo: $(2a{)}^2=4a^2$
• doppio prodotto: $2\cdot 2a\cdot 5b=20ab$, con il segno meno
• quadrato del secondo: $(5b{)}^2=25b^2$

Il trucco per il calcolo mentale

Il quadrato di binomio funziona anche con i numeri. Vuoi $51^2$? Pensa $51=50+1$:

E $98^2=(100-2{)}^2=10000-400+4=9604$.

La somma per differenza

Qui moltiplichi due binomi che hanno gli stessi termini, ma uno con il più e uno con il meno:

I due termini in mezzo sono opposti e si cancellano. Resta il quadrato del primo meno il quadrato del secondo. Attenzione a chi è il "primo": è il termine che ha lo stesso segno in tutti e due i binomi. Quello che cambia segno è il termine che va sottratto.

Esempio

Esempio con l'ordine scambiato

In $(x+3)(3-x)$ il termine che resta uguale è $3$, quello che cambia segno è $x$. Quindi:

Anche questa formula aiuta nel calcolo mentale: $49\cdot 51=(50-1)(50+1)=2500-1=2499$.

Il cubo di binomio

Il cubo è il binomio moltiplicato tre volte per se stesso. Puoi ottenerlo moltiplicando il quadrato per un'altra copia del binomio: $(a+b{)}^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$. Svolgendo e sommando i simili arrivi a:

Per ricordarla guarda tre cose:

1. I coefficienti sono sempre 1, 3, 3, 1.
2. Le potenze del primo termine scendono: $3,2,1,0$.
3. Le potenze del secondo salgono: $0,1,2,3$.

Con il meno in mezzo i segni si alternano: $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$. Il motivo: i termini con il secondo elevato a potenza dispari sono negativi, quelli con potenza pari sono positivi.

Esempio

In $(x-2{)}^3$ il primo è $x$ e il secondo è $2$, con il meno:

Attento al terzo termine: $3\cdot x\cdot 2^2$ fa $12x$, perché prima si eleva $2$ al quadrato e poi si moltiplica.

Il quadrato di trinomio

Con tre termini il ragionamento è lo stesso del binomio: prendi i quadrati di tutti i termini e poi tutti i doppi prodotti a coppie. Le coppie sono tre (primo con secondo, primo con terzo, secondo con terzo):

I quadrati sono sempre positivi. Il segno di ogni doppio prodotto lo decide la regola dei segni tra i due termini della coppia.

Esempio

Svolgiamo $(a+2b-1{)}^2$. I termini sono $a$, $2b$ e $-1$.

• quadrati: $a^2$, $4b^2$, $1$
• doppi prodotti: $2\cdot a\cdot 2b=4ab$; $2\cdot a\cdot (-1)=-2a$; $2\cdot 2b\cdot (-1)=-4b$

Un'idea che salva molti voti: tieni sempre il segno attaccato al termine. Il terzo termine non è "1", è "$-1$".

Esempi svolti

Esempio 1: frazioni e potenze

Svolgi ${\left(2x^2-\frac{1}{2}y\right)}^2$.

• quadrato del primo: $(2x^2{)}^2=4x^4$ (le potenze si moltiplicano: $2\cdot 2=4$)
• doppio prodotto: $2\cdot 2x^2\cdot \frac{1}{2}y=2x^{2}y$, con il meno
• quadrato del secondo: ${\left(\frac{1}{2}y\right)}^2=\frac{1}{4}{y}^2$

Se le potenze ti fanno paura, ripassa le proprietà delle potenze.

Esempio 2: due segni meno

Svolgi $(-3x-1{)}^2$. Puoi raccogliere il meno: $(-3x-1)=-(3x+1)$, e il quadrato di un numero negativo è positivo. Quindi:

Esempio 3: una somma per differenza nascosta

Svolgi $(-x+3)(-x-3)$. Il termine uguale nei due binomi è $-x$, quello che cambia segno è $3$:

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Svolgi $(y+4{)}^2$.

Mostra la soluzione

Quadrato del primo $y^2$, doppio prodotto $2\cdot y\cdot 4=8y$, quadrato del secondo $16$.

$(y+4{)}^2=y^2+8y+16$

2. Svolgi $(3a-1{)}^2$.

Mostra la soluzione

$(3a{)}^2=9a^2$; doppio prodotto $2\cdot 3a\cdot 1=6a$ con il meno; $1^2=1$.

$(3a-1{)}^2=9a^2-6a+1$

3. Svolgi $(5+2x)(5-2x)$.

Mostra la soluzione

È una somma per differenza: il termine uguale è $5$, quello che cambia segno è $2x$.

$(5+2x)(5-2x)=25-4x^2$

Livello medio

4. Svolgi $(a^2+3b)(a^2-3b)$.

Mostra la soluzione

Somma per differenza con primo termine $a^2$ e secondo $3b$.

$(a^2{)}^2-(3b{)}^2=a^4-9b^2$

5. Svolgi $(x+1{)}^3$.

Mostra la soluzione

Coefficienti 1, 3, 3, 1; il secondo termine è $1$, quindi le sue potenze valgono sempre $1$.

$(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$

6. Svolgi $(2a-b{)}^3$.

Mostra la soluzione

• $(2a{)}^3=8a^3$
• $3\cdot (2a{)}^2\cdot b=3\cdot 4a^2\cdot b=12a^{2}b$, con il meno
• $3\cdot 2a\cdot b^2=6a{b}^2$, con il più
• $b^3$, con il meno

$(2a-b{)}^3=8a^3-12a^{2}b+6a{b}^2-b^3$

Livello verifica

7. Svolgi $(x-y+2{)}^2$.

Mostra la soluzione

Termini: $x$, $-y$, $2$.

• quadrati: $x^2$, $y^2$, $4$
• doppi prodotti: $2\cdot x\cdot (-y)=-2xy$; $2\cdot x\cdot 2=4x$; $2\cdot (-y)\cdot 2=-4y$

$(x-y+2{)}^2=x^2+y^2+4-2xy+4x-4y$

8. Semplifica $(x+2{)}^2-(x+2)(x-2)$.

Mostra la soluzione

• $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$
• $(x+2)(x-2)=x^2-4$
• sottrai tutto il secondo risultato, tra parentesi: $x^2+4x+4-(x^2-4)=x^2+4x+4-x^2+4$

Risultato: $4x+8$

9. Calcola a mente $49^2$ usando un prodotto notevole.

Mostra la soluzione

$49=50-1$, quindi $49^2=(50-1{)}^2=2500-100+1=2401$.

Se vuoi allenarti ancora, ci sono più di venti esercizi sui prodotti notevoli svolti e divisi per livello.

Da qui dove si va

I prodotti notevoli non finiscono con la verifica sul calcolo letterale. Tra poco li userai al contrario, per scomporre i polinomi: vedrai $x^2-9$ e scriverai subito $(x+3)(x-3)$. Poi torneranno nelle frazioni algebriche e nelle equazioni. Se ti sembra che i passaggi con i coefficienti ti facciano inciampare, il problema di solito è a monte: ripassa le operazioni con i monomi e il resto diventa più semplice.