Frazioni algebriche: condizioni di esistenza, semplificazione e operazioni, con esercizi svolti

Le frazioni algebriche fanno paura perché sembrano mille regole nuove, ma in realtà sono le frazioni delle medie con dei polinomi al posto dei numeri. Il segreto è uno solo: scomporre prima di fare qualunque cosa. Qui trovi le condizioni di esistenza, la semplificazione, le quattro operazioni, gli errori che i prof segnano in rosso ed esercizi svolti da aprire.

Che cos'è una frazione algebrica

Una frazione algebrica è un rapporto tra due polinomi, con una lettera al denominatore:

Valgono le stesse regole delle frazioni numeriche: si semplifica, si sommano con un denominatore comune, si moltiplicano in linea. C'è però una differenza importante. Con i numeri sai sempre se il denominatore è zero; con le lettere no, dipende dal valore che dai a $x$. Per questo ogni frazione algebrica parte dalle condizioni di esistenza.

Le condizioni di esistenza (C.E.)

Non si può dividere per zero. Quindi bisogna escludere i valori della lettera che annullano il denominatore.

Esempio: $\frac{x+3}{x^2-4}$. Il denominatore è $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

C.E.: $x\ne \pm 2$. Il numeratore non c'entra: se si annulla il numeratore la frazione vale zero, e zero va benissimo.

Come si semplifica

Si semplifica come con i numeri: si dividono numeratore e denominatore per lo stesso fattore. Ma attenzione alla parola fattore: per vederli devi aver scomposto tutto.

Esempio. $\frac{x^2-9}{x^2+3x}$

Scomponi sopra e sotto:

C.E.: $x\ne 0$ e $x\ne -3$. Ora il fattore $(x+3)$ c'è sia sopra sia sotto e si semplifica:

Il risultato vale con le C.E. di partenza: anche se il fattore $x+3$ è sparito, $x=-3$ resta escluso.

Altro esempio. $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}$, con C.E. $x\ne \pm 2$.

Se non ti ricordi come si scompone un trinomio o una differenza di quadrati, ripassa la scomposizione dei polinomi: qui serve a ogni riga.

Somma e differenza

Funziona come con le frazioni numeriche: denominatore comune, che è il m.c.m. dei denominatori scomposti.

Esempio 1. $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$

I denominatori sono già scomposti e diversi: il m.c.m. è $(x-1)(x+1)$. C.E.: $x\ne \pm 1$.

Esempio 2. $\frac{x}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}$

Scomponi: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Il m.c.m. è $(x-3)(x+3)$. C.E.: $x\ne \pm 3$.

Il meno davanti alla seconda frazione cambia il segno a tutto il numeratore $(x+3)$: per questo serve la parentesi.

Esempio 3: denominatori opposti. $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{2-x}$

$2-x$ è l'opposto di $x-2$: $2-x=-(x-2)$. Quindi la seconda frazione si riscrive come $-\frac{x}{x-2}$. C.E.: $x\ne 2$.

Esempio 4: m.c.m. con più fattori. $\frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2-1}$

Scomponi: $x^2-x=x(x-1)$ e $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Il fattore $(x-1)$ è comune e lo prendi una volta sola; poi aggiungi $x$ e $(x+1)$. Il m.c.m. è $x(x-1)(x+1)$. C.E.: $x\ne 0$, $x\ne \pm 1$.

Il m.c.m. diviso il primo denominatore dà $x+1$; diviso il secondo dà $x$:

Esempio 5: alla fine si semplifica. $\frac{x}{x-2}-\frac{x+2}{x^2-2x}$

$x^2-2x=x(x-2)$, quindi il m.c.m. è $x(x-2)$. C.E.: $x\ne 0$, $x\ne 2$.

Non ti fermare qui: il numeratore è un trinomio speciale (somma $-1$, prodotto $-2$), cioè $(x-2)(x+1)$. Quindi

Dopo ogni somma, prova sempre a scomporre il numeratore: spesso si semplifica con un pezzo del m.c.m.

Il segno e i fattori opposti

Due polinomi come $x-3$ e $3-x$ sono opposti: uno è l'altro cambiato di segno, $3-x=-(x-3)$. Per questo

Un segno meno, in una frazione, si può spostare dove vuoi: davanti, sopra o sotto.

Se invece cambi segno sia sopra sia sotto, la frazione non cambia. È il trucco per far diventare uguali due fattori opposti e poterli semplificare. Fai attenzione con i quadrati: $(3-x{)}^2=(x-3{)}^2$, perché un quadrato non ha segno. Lì il meno non salta fuori.

Prodotto e divisione

Prodotto: scomponi tutto, scrivi le C.E., semplifica in croce e moltiplica.

C.E.: $x\ne 0$, $x\ne -2$, $x\ne -1$.

Divisione: si moltiplica la prima per la reciproca della seconda. Per le C.E. c'è una condizione in più: anche il numeratore della seconda deve essere diverso da zero, perché capovolgendo finisce sotto.

C.E.: $a\ne 0$ (dai denominatori) e $a\ne -2$ (dal numeratore della seconda frazione). Nel conto $6a^2:3a=2a$.

Un esempio completo

C.E.: $x\ne 1$ dalla prima frazione, $x\ne \pm 1$ da $x^2-1$. Quindi $x\ne \pm 1$.

Prima la parentesi: $\frac{x}{x-1}-1=\frac{x-(x-1)}{x-1}=\frac{1}{x-1}$.

Poi la divisione:

Risultato: $x+1$, con $x\ne \pm 1$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Scrivi le C.E. di $\frac{2x}{x^2-5x}$.

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$x^2-5x=x(x-5)$. C.E.: $x\ne 0$ e $x\ne 5$.

2. Semplifica $\frac{3x+6}{x^2+2x}$.

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$$\frac{3(x+2)}{x(x+2)}=\frac{3}{x}$$ C.E.: $x\ne 0$, $x\ne -2$.

3. Semplifica $\frac{x^2-25}{x^2-10x+25}$.

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$$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5{)}^2}=\frac{x+5}{x-5}$$ C.E.: $x\ne 5$.

Livello medio

4. Calcola $\frac{3}{x}-\frac{2}{x+1}$.

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m.c.m. $x(x+1)$, C.E. $x\ne 0$, $x\ne -1$.

$$\frac{3(x+1)-2x}{x(x+1)}=\frac{3x+3-2x}{x(x+1)}=\frac{x+3}{x(x+1)}$$

5. Calcola $\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$.

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$x^2-4=(x-2)(x+2)$: è anche il m.c.m. C.E.: $x\ne \pm 2$.

$$\frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$$

6. Calcola $\frac{x^2-9}{2x}\cdot \frac{4x^2}{x+3}$.

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$$\frac{(x-3)(x+3)}{2x}\cdot \frac{4x^2}{x+3}=2x(x-3)$$ Si semplificano $(x+3)$ e $4x^2:2x=2x$. C.E.: $x\ne 0$, $x\ne -3$.

Livello verifica

7. Calcola $\frac{x^2+x}{x-1}:\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$.

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Scomponi: $x^2+x=x(x+1)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$, $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$.

C.E.: $x\ne 1$ (denominatori) e $x\ne -1$ (numeratore della seconda frazione).

$$\frac{x(x+1)}{x-1}\cdot \frac{(x-1{)}^2}{(x-1)(x+1)}=x$$

8. Calcola $\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{x^2}{x^2-1}$.

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C.E.: $x\ne 0$, $x\ne \pm 1$.

$1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$, quindi

$$\frac{x+1}{x}\cdot \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x}{x-1}$$

Dopo le frazioni algebriche

Se ti blocchi sulle somme, il problema di solito sta prima: ripassa le espressioni con le frazioni numeriche, che seguono le stesse regole. Le frazioni algebriche sono poi la base delle equazioni fratte, dove le C.E. decidono quali soluzioni accettare, e delle disequazioni fratte, dove il denominatore entra nello studio del segno. Per allenarti sulle frazioni numeriche c'è anche Allenati online, gratis.