Disequazioni fratte: lo studio del segno passo per passo, con tabelle ed esercizi svolti

Le disequazioni fratte sono disequazioni con l'incognita al denominatore, e hanno una regola che le distingue da tutto il resto: il denominatore non si toglie. Invece di moltiplicare, si studia il segno della frazione. Qui trovi perché si fa così, il metodo passo per passo con la tabella dei segni, esempi svolti dal facile al difficile, gli errori da verifica ed esercizi con le soluzioni.

Che cos'è una disequazione fratta

Una disequazione è fratta quando l'incognita compare al denominatore:

Se ti serve ripassare le basi (i versi, i principi, come si scrive l'insieme soluzione), parti dalle disequazioni di primo grado.

Perché non si moltiplica per il denominatore

Nelle equazioni fratte moltiplichi per il m.c.m. e i denominatori spariscono. Qui no, e il motivo è il secondo principio delle disequazioni: se moltiplichi per un numero negativo, il verso si inverte.

Il denominatore $x+2$ è positivo per $x>-2$ e negativo per $x<-2$. Non sai quale dei due casi hai davanti, quindi non sai se il verso resta o si gira. Per questo si cambia strada: si guarda il segno di numeratore e denominatore e si usa la regola dei segni.

Il metodo passo per passo

La tabella dei segni è la versione in tabella del "grafico dei segni" che fai sul quaderno: sul quaderno disegni una linea continua dove il fattore è positivo e tratteggiata dove è negativo; qui scrivi direttamente $+$ e $-$.

Esempi svolti

Esempio 1: la forma base

È già una frazione confrontata con zero.

• Numeratore: $x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3$.
• Denominatore: $x+2>0\Rightarrow x>-2$ (C.E.: $x\ne -2$).

I punti critici sono $-2$ e $3$:

Serve $\ge 0$: prendi gli intervalli con $+$ e il punto dove vale $0$, ma non $x=-2$.

In intervalli: $(-\infty ;-2)\cup [3;+\infty )$.

Esempio 2: secondo membro diverso da zero

Prima porta tutto a sinistra e fai il denominatore comune:

• Numeratore: $x+2>0\Rightarrow x>-2$.
• Denominatore: $x-1>0\Rightarrow x>1$.

Serve $<0$, stretto: solo l'intervallo con il meno.

Esempio 3: tre fattori e un denominatore "girato"

Studia ogni fattore:

• $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$;
• $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3$;
• $2-x>0\Rightarrow x<2$. Attenzione: questo fattore è positivo a sinistra di $2$ e negativo a destra.

Punti critici in ordine: $-3$, $1$, $2$.

Serve $\le 0$: gli intervalli con il meno, più gli zeri del numeratore $-3$ e $1$.

Esempio 4: prima si scompone

Il numeratore si scompone: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Ora ci sono tre fattori di primo grado: $x-3>0$ per $x>3$; $x+3>0$ per $x>-3$; $x>0$.

Qui ho tolto le colonne dei punti: con il verso stretto sono comunque tutti esclusi.

Esempio 5: numeratore costante

Il numeratore $3$ è sempre positivo e non vale mai zero. Quindi la frazione è negativa solo quando il denominatore è negativo: $x-2<0$, cioè

Il "$=$" del $\le$ non aggiunge niente: la frazione non vale mai zero.

Come scrivere la soluzione

Lo stesso insieme si può scrivere in tre modi, e in verifica va bene quello che usa il tuo prof. Per la soluzione dell'esempio 3:

• con le disuguaglianze: $-3\le x\le 1\vee x>2$ (il simbolo $\vee$ si legge «oppure»);
• con gli intervalli: $[-3;1]\cup (2;+\infty )$, dove la quadra vuol dire che l'estremo è compreso e la tonda che è escluso;
• sulla retta: pallino pieno sugli estremi compresi ($-3$ e $1$), pallino vuoto su quelli esclusi ($2$), e il tratto colorato sugli intervalli scelti.

Le parentesi accanto a $+\infty$ e $-\infty$ sono sempre tonde, perché l'infinito non è un numero che si raggiunge.

Equazioni fratte e disequazioni fratte a confronto

Vengono spiegate una dopo l'altra e si confondono facilmente. La differenza sta tutta nel denominatore:

Ricorda il motivo: in un'equazione moltiplicare per una quantità diversa da zero è sempre lecito. In una disequazione no, perché il segno di quella quantità decide il verso.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Risolvi $\frac{x-5}{x+1}>0$.

Mostra la soluzione

N $>0$ per $x>5$; D $>0$ per $x>-1$.

Segni della frazione: $+$ per $x<-1$, $-$ tra $-1$ e $5$, $+$ per $x>5$.

$x<-1\vee x>5$

2. Risolvi $\frac{x+4}{x-2}\le 0$.

Mostra la soluzione

N $\ge 0$ per $x\ge -4$; D $>0$ per $x>2$.

Frazione negativa tra $-4$ e $2$, zero in $-4$, non esiste in $2$.

$-4\le x<2$

3. Risolvi $\frac{3-x}{x+3}\ge 0$.

Mostra la soluzione

N: $3-x\ge 0\Rightarrow x\le 3$. D: $x+3>0\Rightarrow x>-3$.

	$x<-3$	$-3<x<3$	$x>3$
$3-x$	$+$	$+$	$-$
$x+3$	$-$	$+$	$+$
frazione	$-$	$+$	$-$

Con lo zero del numeratore: $-3<x\le 3$.

Livello medio

4. Risolvi $\frac{x}{x-1}>2$.

Mostra la soluzione

$\frac{x}{x-1}-2>0\Rightarrow \frac{x-2(x-1)}{x-1}>0\Rightarrow \frac{2-x}{x-1}>0$

N: $2-x>0\Rightarrow x<2$. D: $x>1$.

Frazione: $-$ per $x<1$, $+$ tra $1$ e $2$, $-$ per $x>2$.

$1<x<2$

5. Risolvi $\frac{1}{x}<1$.

Mostra la soluzione

$\frac{1}{x}-1<0\Rightarrow \frac{1-x}{x}<0$

N: $1-x>0\Rightarrow x<1$. D: $x>0$.

Frazione: $-$ per $x<0$, $+$ tra $0$ e $1$, $-$ per $x>1$.

$x<0\vee x>1$

(Chi moltiplica per $x$ ottiene $1<x$ e perde tutti i numeri negativi.)

6. Risolvi $\frac{x^2-1}{x+2}\ge 0$.

Mostra la soluzione

$x^2-1=(x-1)(x+1)$. Punti critici: $-2$, $-1$, $1$.

	$x<-2$	$-2<x<-1$	$-1<x<1$	$x>1$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$+$	$+$	$+$
frazione	$-$	$+$	$-$	$+$

Con gli zeri del numeratore $-1$ e $1$ (non $-2$):

$-2<x\le -1\vee x\ge 1$

Livello verifica

7. Risolvi $\frac{x-2}{x^2-9}\le 0$.

Mostra la soluzione

$x^2-9=(x-3)(x+3)$. Punti critici: $-3$, $2$, $3$.

	$x<-3$	$-3<x<2$	$2<x<3$	$x>3$
$x-2$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x+3$	$-$	$+$	$+$	$+$
frazione	$-$	$+$	$-$	$+$

Con lo zero del numeratore $2$, senza $\pm 3$:

$x<-3\vee 2\le x<3$

8. Risolvi $\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\ge 0$.

Mostra la soluzione

Denominatore comune $(x+1)(x-1)$:

$\frac{2(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}\ge 0\Rightarrow \frac{x-3}{(x+1)(x-1)}\ge 0$

Punti critici: $-1$, $1$, $3$.

	$x<-1$	$-1<x<1$	$1<x<3$	$x>3$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x+1$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$+$	$+$
frazione	$-$	$+$	$-$	$+$

Con lo zero del numeratore $3$:

$-1<x<1\vee x\ge 3$

Da dove arrivano e cosa serve sapere

Per risolvere bene le disequazioni fratte devi saper fare tre cose: ridurre a una sola frazione come nelle frazioni algebriche, scomporre numeratore e denominatore con i metodi della scomposizione dei polinomi e risolvere le disequazioni di primo grado di ogni fattore. Se confondi ancora quando moltiplicare e quando no, confronta il metodo con quello delle equazioni fratte: lì il denominatore si toglie, qui mai.