Equazioni fratte: il metodo passo per passo, le condizioni di esistenza ed esercizi svolti

Le equazioni fratte sono equazioni con l'incognita al denominatore, e in verifica sono quelle dove si perdono più punti per un motivo banale: ci si dimentica che non si può dividere per zero. Il metodo è sempre lo stesso, cinque passaggi in fila. Qui trovi il metodo spiegato con il perché, esempi con soluzioni accettabili e da scartare, i casi impossibile e indeterminato, gli errori tipici ed esercizi svolti.

Che cos'è un'equazione fratta

Un'equazione è fratta (o frazionaria) quando l'incognita compare in almeno un denominatore:

Invece $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$ è intera: ci sono frazioni, ma al denominatore solo numeri. Quella si risolve come una normale equazione di primo grado.

Un modo rapido per riconoscerle: copri con il dito i numeratori e guarda solo sotto le linee di frazione. Se vedi una $x$, l'equazione è fratta e ti servono le condizioni di esistenza.

Il problema delle fratte è che un valore come $x=2$ nella prima equazione annulla il denominatore $x-2$: per quel valore l'equazione non ha senso. Va escluso prima di risolvere, e controllato dopo.

Il metodo in cinque passi

Perché si può moltiplicare per il m.c.m.? Per il secondo principio di equivalenza puoi moltiplicare i due membri per la stessa quantità, purché diversa da zero. Il m.c.m. contiene l'incognita, quindi è diverso da zero solo se rispetti le C.E. Ecco perché le condizioni vengono prima di tutto: sono loro che rendono lecito il passaggio 3.

Esempi svolti

Esempio 1: il caso più semplice

C.E.: $x-2\ne 0$, quindi $x\ne 2$.

Moltiplica entrambi i membri per $x-2$:

$\frac{7}{2}$ è diverso da $2$: accettabile. $S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$.

Controllo: $\frac{\frac{7}{2}+1}{\frac{7}{2}-2}=\frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}}=3$. Torna.

Esempio 2: denominatore da scomporre

Scomponi: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. È anche il m.c.m.

C.E.: $x\ne 1$ e $x\ne -1$.

Moltiplica tutto per $(x-1)(x+1)$. Ogni frazione perde il suo denominatore e il numeratore viene moltiplicato per il fattore che manca:

$0$ non è escluso: accettabile. $S=\{0\}$.

Esempio 3: la soluzione da scartare

C.E.: $x\ne 3$.

Moltiplica per $x-3$ (anche il $2$, che non ha denominatore, va moltiplicato):

Ma $x=3$ è proprio il valore escluso. Non accettabile: l'equazione è impossibile, $S=\varnothing$.

Se avessi saltato le C.E. avresti scritto $x=3$, e in verifica quell'esercizio vale zero.

Esempio 4: indeterminata con le C.E.

Scomponi: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. C.E.: $x\ne \pm 2$. m.c.m. $=(x-2)(x+2)$.

È un'identità: va bene qualunque numero, tranne quelli esclusi. La soluzione è $S=\mathbb{R}-\{-2,2\}$, non tutto $\mathbb{R}$.

Esempio 5: i quadrati che si cancellano

C.E.: $x\ne \pm 1$. m.c.m. $=(x-1)(x+1)$.

I termini $x^2$ si cancellano e resta un'equazione di primo grado. $-\frac{5}{3}$ non è escluso: accettabile.

Perché a volte la soluzione è falsa

Ti sarà capitato di pensare: «Ho fatto tutti i conti giusti, perché devo buttare via la soluzione?». Il motivo sta nel passo 3.

Prendi l'equazione

Moltiplicando per $x-2$ ottieni $x=2$. L'equazione intera $x=2$ ha come soluzione $2$, ma quella di partenza no: se sostituisci $x=2$ trovi $\frac{2}{0}=\frac{2}{0}$, che non ha senso.

Moltiplicando per il m.c.m. hai trasformato l'equazione in una che è equivalente solo dentro le C.E. Fuori dalle C.E., cioè proprio nei valori esclusi, l'equazione intera può avere soluzioni che quella fratta non ha. Il confronto del passo 5 serve a eliminarle. Non è un controllo in più messo dal prof per pignoleria: fa parte della soluzione.

Se vuoi una prova in più, puoi sempre sostituire la soluzione accettata nell'equazione di partenza, come nell'esempio 1. Con le frazioni ci vuole un po', ma in verifica vale la pena farlo almeno sull'esercizio più difficile.

Accettare o scartare: lo schema

Alla fine di ogni equazione fratta ti trovi in uno di questi casi:

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Risolvi $\frac{4}{x-1}=2$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne 1$.

$4=2(x-1)\Rightarrow 4=2x-2\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$, accettabile.

2. Risolvi $\frac{2x-1}{x+3}=1$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne -3$.

$2x-1=x+3\Rightarrow x=4$, accettabile.

3. Risolvi $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne -3$, $x\ne 1$. m.c.m. $(x+3)(x-1)$.

$2(x-1)=x+3\Rightarrow 2x-2=x+3\Rightarrow x=5$, accettabile.

Livello medio

4. Risolvi $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{4}$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne 0$. m.c.m. $4x$.

$4+2=3x\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$, accettabile.

5. Risolvi $\frac{x+4}{x-4}=\frac{8}{x-4}$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne 4$.

$x+4=8\Rightarrow x=4$. È il valore escluso: non accettabile. Equazione impossibile, $S=\varnothing$.

6. Risolvi $\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{14}{x^2-4}$.

Mostra la soluzione

$x^2-4=(x-2)(x+2)$. C.E.: $x\ne \pm 2$.

$3(x+2)-2(x-2)=14$

$3x+6-2x+4=14\Rightarrow x+10=14\Rightarrow x=4$, accettabile.

Livello verifica

7. Risolvi $\frac{x}{x-1}-1=\frac{2}{x^2-x}$.

Mostra la soluzione

$x^2-x=x(x-1)$. C.E.: $x\ne 0$, $x\ne 1$. m.c.m. $x(x-1)$.

$x\cdot x-x(x-1)=2$

$x^2-x^2+x=2\Rightarrow x=2$, accettabile.

8. Risolvi $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{1-x^2}$.

Mostra la soluzione

$1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$, quindi il secondo membro è $-\frac{4}{(x-1)(x+1)}$. C.E.: $x\ne \pm 1$.

Moltiplica per $(x-1)(x+1)$:

$(x-1{)}^2-(x+1{)}^2=-4$

$x^2-2x+1-x^2-2x-1=-4\Rightarrow -4x=-4\Rightarrow x=1$

$x=1$ è escluso: non accettabile. Equazione impossibile, $S=\varnothing$.

9. Risolvi $\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2}{x+1}$.

Mostra la soluzione

C.E.: $x\ne \pm 1$. m.c.m. $(x-1)(x+1)$.

$2x-2=2(x-1)\Rightarrow 2x-2=2x-2\Rightarrow 0=0$

Identità: equazione indeterminata, $S=\mathbb{R}-\{-1,1\}$.

Prima e dopo le equazioni fratte

Le equazioni fratte mettono insieme tre cose: le frazioni algebriche (m.c.m. e segni), la scomposizione dei polinomi (per trovare le C.E.) e le equazioni di primo grado (per i conti finali). Se una delle tre zoppica, ripassala prima. Il passo successivo sono le disequazioni fratte: lì il metodo cambia, perché per il denominatore non si può moltiplicare. Per scaldarti sulle equazioni intere c'è Allenati online.