Matematica · Calcolo letterale

Scomposizione dei polinomi: tutti i metodi, l'ordine giusto ed esercizi svolti

Scomposizione dei polinomi spiegata semplice: raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio speciale e Ruffini, con l'ordine da seguire ed esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 9 minuti di lettura

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Una mappa a colori con i metodi di scomposizione in fila (raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio, Ruffini) e una freccia che indica l'ordine da seguire

In breve

Scomporre un polinomio vuol dire scriverlo come prodotto di polinomi più semplici. I metodi sono cinque: raccoglimento totale, raccoglimento parziale, prodotti notevoli al contrario, trinomio speciale e regola di Ruffini. Si provano in quest'ordine, partendo sempre dal raccoglimento, e si continua finché nessun fattore si scompone più.

La scomposizione dei polinomi è l'argomento che collega tutto il calcolo letterale: senza saper scomporre non semplifichi le frazioni algebriche, non risolvi le equazioni fratte e non studi il segno di una disequazione. La buona notizia è che i metodi sono pochi e si provano sempre nello stesso ordine. Qui li trovi uno per uno, con il perché, la strategia da seguire, gli errori tipici ed esercizi con le soluzioni.

Che cosa vuol dire scomporre

Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. È l'operazione contraria allo svolgere i prodotti:

(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9 svolgere

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) scomporre

Un polinomio che non si può scomporre si chiama irriducibile, un po' come un numero primo. E infatti il paragone regge: scomporre un polinomio è come scomporre $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , solo che al posto dei numeri primi ci sono i polinomi irriducibili.

I metodi di scomposizione

1. Raccoglimento totale

Se tutti i termini hanno un fattore in comune, lo porti fuori. Il fattore comune è il M.C.D. dei coefficienti per le lettere comuni, ciascuna con l'esponente più basso.

6 a^{3} b - 9 a^{2} b^{2} = 3 a^{2} b (2 a - 3 b)

Dentro la parentesi trovi ogni termine diviso per $3 a^{2} b$ . Controllo: $3 a^{2} b \cdot 2 a = 6 a^{3} b$ e $3 a^{2} b \cdot (- 3 b) = - 9 a^{2} b^{2}$ .

2. Raccoglimento parziale

Con quattro termini senza un fattore comune a tutti, li dividi in coppie, raccogli in ogni coppia e speri che salti fuori la stessa parentesi.

a x + a y + 3 x + 3 y = a (x + y) + 3 (x + y) = (x + y) (a + 3)

x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6 = x^{2} (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (x^{2} + 3)

Se le due parentesi non vengono uguali, prova a raggruppare in un altro modo.

Raccogliere un binomio o un segno meno

Il fattore comune non deve per forza essere un monomio. Può essere un'intera parentesi:

3 x (a - b) - 2 (a - b) = (a - b) (3 x - 2)

Qui $(a - b)$ compare in tutti e due i termini, quindi lo porti fuori come se fosse una lettera sola.

A volte conviene raccogliere anche il segno meno, per avere il primo termine positivo dentro la parentesi:

- x^{2} + 4 x = - x (x - 4)

Controlla i segni moltiplicando: $- x \cdot x = - x^{2}$ e $- x \cdot (- 4) = + 4 x$ . Raccogliere il meno è utile soprattutto quando poi dentro la parentesi devi riconoscere un prodotto notevole o un trinomio: è molto più facile con il primo termine positivo.

3. I prodotti notevoli al contrario

Qui riconosci la forma di un prodotto notevole e torni indietro.

forma	si scompone in
$a^{2} - b^{2}$ (differenza di quadrati)	$(a - b) (a + b)$
$a^{2} + 2 ab + b^{2}$	$(a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 ab + b^{2}$	$(a - b)^{2}$
$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	$(a + b)^{3}$
$a^{3} + b^{3}$ (somma di cubi)	$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
$a^{3} - b^{3}$ (differenza di cubi)	$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Esempi:

$9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$ , perché $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ e $25 = 5^{2}$ ;
$x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ , perché il doppio prodotto di $x$ e $5$ è proprio $10 x$ ;
$4 a^{2} + 12 ab + 9 b^{2} = (2 a + 3 b)^{2}$ , perché $2 \cdot 2 a \cdot 3 b = 12 ab$ ;
$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}$ , perché $3 \cdot x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2}$ e $3 \cdot x \cdot 4 = 12 x$ ;
$x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ ;
$8 a^{3} + 1 = (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)$ .

4. Il trinomio speciale

Un trinomio come $x^{2} + s x + p$ (primo coefficiente $1$ ) si scompone in $(x + m) (x + n)$ se trovi due numeri $m$ e $n$ con somma $s$ e prodotto $p$ .

$x^{2} + 7 x + 12$ : somma $7$ , prodotto $12$ → $3$ e $4$ → $(x + 3) (x + 4)$ .
$x^{2} - 2 x - 15$ : somma $- 2$ , prodotto $- 15$ → $- 5$ e $3$ → $(x - 5) (x + 3)$ .

Perché funziona? Svolgendo $(x + m) (x + n)$ ottieni $x^{2} + (m + n) x + mn$ : il coefficiente della $x$ è la somma, il termine noto è il prodotto.

Se il prodotto è positivo i due numeri hanno lo stesso segno (quello della somma); se è negativo hanno segni diversi.

5. La regola di Ruffini

Quando niente di tutto questo funziona, cerchi un numero $a$ che annulla il polinomio tra i divisori del termine noto e dividi per $x - a$ con la regola di Ruffini.

Esempio: $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ . Si annulla per $x = 1$ ( $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ). Ruffini con $1$ dà $x^{2} - 5 x + 6$ , che è un trinomio speciale. Risultato:

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Esempi svolti, dal facile al difficile

Esempio 1. $2 x^{3} - 18 x$

Raccogli $2 x$ : $2 x (x^{2} - 9)$ . Dentro c'è una differenza di quadrati.

2 x^{3} - 18 x = 2 x (x - 3) (x + 3)

Esempio 2. $3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$

Raccogli $3 x$ : $3 x (x^{2} - 4 x + 4)$ . Il trinomio è un quadrato: $x^{2}$ , $4 = 2^{2}$ , doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 2 = 4 x$ con il meno.

3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x = 3 x (x - 2)^{2}

Esempio 3. $x^{4} - 5 x^{2} + 4$

È un trinomio speciale "in $x^{2}$ ": due numeri con somma $- 5$ e prodotto $4$ sono $- 1$ e $- 4$ . Quindi $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ . Entrambi i fattori sono differenze di quadrati:

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)

Esempio 4. $a^{2} - b^{2} + 2 a + 2 b$

Raggruppa i primi due e gli ultimi due: $(a - b) (a + b) + 2 (a + b)$ . La parentesi comune è $(a + b)$ :

a^{2} - b^{2} + 2 a + 2 b = (a + b) (a - b + 2)

Esempio 5. $x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}$

I primi tre termini sono un quadrato: $(x - 3)^{2}$ . Resta $(x - 3)^{2} - y^{2}$ , una differenza di quadrati:

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} = (x - 3 - y) (x - 3 + y)

Come controllare se hai scomposto bene

Ci sono due controlli veloci, e conviene farne almeno uno su ogni esercizio di verifica.

Rifare il prodotto. Moltiplichi i fattori che hai trovato e guardi se torna il polinomio di partenza. È il controllo più sicuro, ma con tre o quattro fattori richiede un minuto.

Sostituire un numero. Scegli un valore comodo, per esempio $x = 2$ , e lo metti sia nel polinomio di partenza sia nella tua scomposizione. Se i due risultati sono diversi, hai sbagliato di sicuro.

Esempio con $2 x^{3} - 18 x = 2 x (x - 3) (x + 3)$ :

a sinistra: $2 \cdot 8 - 18 \cdot 2 = 16 - 36 = - 20$ ;
a destra: $2 \cdot 2 \cdot (2 - 3) \cdot (2 + 3) = 4 \cdot (- 1) \cdot 5 = - 20$ .

Torna. Se avessi scritto per errore $2 x (x - 3)^{2}$ , a destra avresti ottenuto $4 \cdot 1 = 4$ , e l'errore sarebbe saltato fuori subito.

Evita i numeri che annullano uno dei fattori (qui $0$ , $3$ e $- 3$ ): darebbero zero da tutte e due le parti e il controllo non direbbe niente. Se due risultati coincidono con un solo numero non è una prova assoluta, ma nella pratica scopre quasi tutti gli errori di segno.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Scomponi $5 x^{2} y - 10 x y^{2}$ .

Mostra la soluzione

Fattore comune: $5 x y$ . Dentro: $5 x^{2} y : 5 x y = x$ e $- 10 x y^{2} : 5 x y = - 2 y$ .

$5 x y (x - 2 y)$

2. Scomponi $16 a^{2} - 1$ .

Mostra la soluzione

Differenza di quadrati: $16 a^{2} = (4 a)^{2}$ e $1 = 1^{2}$ .

$(4 a - 1) (4 a + 1)$

3. Scomponi $x^{2} + 8 x + 16$ .

Mostra la soluzione

$x^{2}$ e $16 = 4^{2}$ sono quadrati, il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ c'è.

$(x + 4)^{2}$

4. Scomponi $x^{2} - x - 12$ .

Mostra la soluzione

Due numeri con somma $- 1$ e prodotto $- 12$ : $- 4$ e $3$ .

$(x - 4) (x + 3)$

Livello medio

5. Scomponi $ab - 2 a + 3 b - 6$ .

Mostra la soluzione

Raccoglimento parziale: $a (b - 2) + 3 (b - 2)$ .

$(b - 2) (a + 3)$

6. Scomponi $x^{3} + 64$ .

Mostra la soluzione

Somma di cubi con $64 = 4^{3}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$

7. Scomponi $3 x^{3} - 27 x$ .

Mostra la soluzione

Raccogli $3 x$ : $3 x (x^{2} - 9)$ , poi differenza di quadrati.

$3 x (x - 3) (x + 3)$

Livello verifica

8. Scomponi $x^{4} - 81$ .

Mostra la soluzione

Differenza di quadrati: $(x^{2} - 9) (x^{2} + 9)$ . Il primo fattore si scompone ancora, il secondo no.

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$

9. Scomponi $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ .

Mostra la soluzione

Raccoglimento parziale: $x^{2} (x + 2) - 1 (x + 2) = (x + 2) (x^{2} - 1)$ .

Poi la differenza di quadrati: $(x + 2) (x - 1) (x + 1)$ .

(Con Ruffini arrivi allo stesso risultato: il polinomio si annulla per $x = 1$ .)

10. Scomponi $2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x$ .

Mostra la soluzione

Raccogli $2 x$ : $2 x (x^{2} - 4 x + 4)$ . Il trinomio è il quadrato di $x - 2$ .

$2 x (x - 2)^{2}$

Dove ti serve la scomposizione

Se i prodotti notevoli non ti vengono a colpo d'occhio, allenati prima con gli esercizi sui prodotti notevoli: riconoscerli al contrario diventa automatico. La scomposizione è il primo passo per semplificare le frazioni algebriche, per trovare le condizioni di esistenza delle equazioni fratte e per studiare il segno nelle disequazioni fratte. In tutti e tre i casi, chi scompone bene ha già fatto metà esercizio.

Domande frequenti

Che cosa vuol dire scomporre un polinomio?

Vuol dire scriverlo come una moltiplicazione di polinomi di grado più basso. Per esempio x² − 9 scomposto diventa (x − 3)(x + 3). È il contrario dello svolgere i prodotti.

In che ordine si provano i metodi di scomposizione?

Prima il raccoglimento totale, poi si contano i termini: con 2 termini cerchi una differenza di quadrati o di cubi, con 3 un quadrato di binomio o un trinomio speciale, con 4 un raccoglimento parziale o un cubo di binomio. Se niente funziona, usi Ruffini.

Come capisco se la scomposizione è finita?

Quando nessun fattore si può scomporre ancora. Guarda ogni parentesi una per una: una differenza di quadrati, come x² − 4, va sempre aperta di nuovo.

La somma di due quadrati si scompone?

No. Un binomio come x² + 9 non si scompone con i numeri reali: lo lasci così. Si scompongono la differenza di quadrati e la somma e la differenza di cubi.

Come controllo se ho scomposto bene?

Rifai la moltiplicazione dei fattori che hai trovato: devi ritrovare il polinomio di partenza. In alternativa sostituisci un numero comodo, per esempio x = 2, nel polinomio iniziale e nel risultato: devono dare lo stesso valore.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore2ª superiore

Scomposizione dei polinomi: tutti i metodi, l'ordine giusto ed esercizi svolti

Che cosa vuol dire scomporre

I metodi di scomposizione

1. Raccoglimento totale

2. Raccoglimento parziale

Raccogliere un binomio o un segno meno

3. I prodotti notevoli al contrario

4. Il trinomio speciale

5. La regola di Ruffini

Esempi svolti, dal facile al difficile

Come controllare se hai scomposto bene

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dove ti serve la scomposizione

Domande frequenti

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