Matematica · Calcolo letterale

Regola di Ruffini: come si fa la divisione e come si scompone, con esempi ed esercizi svolti

La regola di Ruffini spiegata passo per passo: lo schema della divisione, il teorema del resto e come scomporre un polinomio, con esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 10 minuti di lettura

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Lo schema di Ruffini disegnato a mano su un quaderno a quadretti, con le frecce che mostrano 'abbassa, moltiplica, somma' e il resto cerchiato in rosso

In breve

La regola di Ruffini è un modo veloce per dividere un polinomio per un binomio del tipo x − a: scrivi i coefficienti in fila, abbassi il primo, moltiplichi per a e sommi, fino in fondo. L'ultimo numero è il resto, gli altri sono i coefficienti del quoziente. Se il resto è zero, x − a è un fattore e il polinomio si scompone.

La regola di Ruffini è la scorciatoia per dividere un polinomio per un binomio come $x - 2$ o $x + 5$ : niente divisione in colonna, solo una fila di numeri e tre mosse che si ripetono. Qui trovi lo schema spiegato passo per passo, il teorema del resto, come si usa Ruffini per scomporre un polinomio, gli errori che costano punti in verifica ed esercizi con la soluzione da aprire.

Quando si usa la regola di Ruffini

Ruffini serve in un caso preciso: il divisore è un binomio di primo grado del tipo $x - a$ (o $x + a$ , che è lo stesso con $a$ negativo). Esempi giusti: $x - 1$ , $x + 3$ , $x - \frac{1}{2}$ . Esempi sbagliati: $x^{2} + 1$ , $x^{2} - x + 2$ . Per quelli serve la divisione tra polinomi classica.

Perché vale la pena impararla? Perché la userai di continuo: per dividere, per calcolare un resto senza fare la divisione e soprattutto, dalla seconda metà della prima superiore in poi, per scomporre polinomi di terzo grado che con i metodi normali non si scompongono.

Lo schema di Ruffini passo per passo

Dividiamo $(2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5) : (x - 2)$ .

Il polinomio è completo e ordinato, quindi i coefficienti sono $2, - 3, 1, - 5$ . Il divisore è $x - 2$ : si annulla per $x = 2$ , quindi nell'angolo va 2.

	$x^{3}$	$x^{2}$	$x$	termine noto
coefficienti	$2$	$- 3$	$1$	$- 5$
angolo: $2$		$4$	$2$	$6$
risultato	$2$	$1$	$3$	$1$ (resto)

Le mosse, una alla volta:

abbassi il $2$ ;
$2 \cdot 2 = 4$ , lo scrivi sotto il $- 3$ ; sommi: $- 3 + 4 = 1$ ;
$1 \cdot 2 = 2$ , lo scrivi sotto l' $1$ ; sommi: $1 + 2 = 3$ ;
$3 \cdot 2 = 6$ , lo scrivi sotto il $- 5$ ; sommi: $- 5 + 6 = 1$ .

L'ultima casella, $1$ , è il resto. I numeri prima, $2, 1, 3$ , sono i coefficienti del quoziente. Il polinomio di partenza era di terzo grado, quindi il quoziente è di secondo:

Q (x) = 2 x^{2} + x + 3 R = 1

Il controllo si fa sempre con la relazione della divisione, $P (x) = Q (x) \cdot (x - a) + R$ :

(2 x^{2} + x + 3) (x - 2) + 1 = 2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x + 3 x - 6 + 1 = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5

Torna. Perché funziona? Lo schema fa esattamente i conti della divisione in colonna, solo che scrive i coefficienti e lascia stare le lettere. Il segno cambia perché, invece di sottrarre $- 2$ volte, sommi $+ 2$ volte: per questo nell'angolo va $a$ e non $- a$ .

Se manca un termine o il divisore è x + a

Dividiamo $(x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1) : (x + 1)$ .

Manca il termine in $x^{3}$ : al suo posto va uno 0. I coefficienti sono $1, 0, - 3, 2, 1$ . Il divisore $x + 1$ si annulla per $x = - 1$ : nell'angolo va $- 1$ .

	$x^{4}$	$x^{3}$	$x^{2}$	$x$	termine noto
coefficienti	$1$	$0$	$- 3$	$2$	$1$
angolo: $- 1$		$- 1$	$1$	$2$	$- 4$
risultato	$1$	$- 1$	$- 2$	$4$	$- 3$

Quindi $Q (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x + 4$ e $R = - 3$ .

Il teorema del resto: il resto senza fare la divisione

C'è un modo ancora più rapido se ti serve solo il resto.

Riprova con l'esempio di prima: $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5$ e $a = 2$ .

P (2) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1

Esce $1$ , lo stesso resto dello schema. Altro esempio: il resto di $(x^{5} - 2 x + 3) : (x - 1)$ è $P (1) = 1 - 2 + 3 = 2$ , e non hai scritto una sola riga di schema.

Il teorema di Ruffini è la chiave per scomporre: se trovi un numero $a$ che rende $P (a) = 0$ , allora $x - a$ è un fattore di $P (x)$ .

Come scomporre un polinomio con Ruffini

Quando un polinomio di terzo grado non si scompone con raccoglimenti o prodotti notevoli, la strada è questa:

cerchi un numero $a$ con $P (a) = 0$ (una radice);
dividi con Ruffini per $x - a$ : il resto deve venire $0$ ;
scrivi $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ e scomponi ancora $Q (x)$ , se si può.

Dove si cerca la radice? Tra i divisori del termine noto, con il più e con il meno. Se il primo coefficiente non è $1$ , anche tra le frazioni $\frac{divisore del termine noto}{divisore del primo coefficiente}$ .

Primo esempio: x³ − 4x² + x + 6

Il termine noto è $6$ : le radici possibili sono $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

$P (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4$ : no.
$P (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ : sì.

Allora $x + 1$ è un fattore. Dividi con Ruffini usando $- 1$ nell'angolo:

	$x^{3}$	$x^{2}$	$x$	termine noto
coefficienti	$1$	$- 4$	$1$	$6$
angolo: $- 1$		$- 1$	$5$	$- 6$
risultato	$1$	$- 5$	$6$	$0$

Il quoziente è $x^{2} - 5 x + 6$ , un trinomio speciale: due numeri con somma $- 5$ e prodotto $6$ sono $- 2$ e $- 3$ . Quindi

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

Secondo esempio: primo coefficiente diverso da 1

Scomponiamo $2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ . Le radici possibili sono $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ .

$P (1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$ : subito fortuna. Ruffini con $1$ :

	$x^{3}$	$x^{2}$	$x$	termine noto
coefficienti	$2$	$1$	$- 5$	$2$
angolo: $1$		$2$	$3$	$- 2$
risultato	$2$	$3$	$- 2$	$0$

Il quoziente è $2 x^{2} + 3 x - 2$ . Se lo provi di nuovo con Ruffini scopri che si annulla per $x = - 2$ (fa $8 - 6 - 2 = 0$ ) e la divisione dà $2 x - 1$ . Risultato:

2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2 = (x - 1) (x + 2) (2 x - 1)

Nota il $2 x - 1$ : corrisponde alla radice frazionaria $\frac{1}{2}$ , che stava proprio tra i candidati.

Gli errori da verifica

Ruffini con divisore 2x − 1

Se il divisore è $b x - c$ con $b \neq = 1$ , Ruffini si può usare lo stesso con un passaggio in più. Esempio: $(4 x^{2} + 4 x - 3) : (2 x - 1)$ .

Il divisore si annulla per $x = \frac{1}{2}$ . Ruffini con $\frac{1}{2}$ sui coefficienti $4, 4, - 3$ : abbassi $4$ ; $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ , $4 + 2 = 6$ ; $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ , $- 3 + 3 = 0$ . Ottieni $4 x + 6$ con resto $0$ .

Ma hai diviso per $x - \frac{1}{2}$ , che è la metà di $2 x - 1$ . Il quoziente vero è quindi la metà: $\frac{4 x + 6}{2} = 2 x + 3$ . Il resto rimane quello trovato. Infatti $(2 x - 1) (2 x + 3) = 4 x^{2} + 4 x - 3$ .

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Esegui con Ruffini $(x^{2} + 5 x + 7) : (x + 2)$ .

Mostra la soluzione

Coefficienti $1, 5, 7$ ; nell'angolo $- 2$ .

abbassi $1$ ;
$1 \cdot (- 2) = - 2$ , $5 - 2 = 3$ ;
$3 \cdot (- 2) = - 6$ , $7 - 6 = 1$ .

$Q (x) = x + 3$ , $R = 1$ .

2. Esegui con Ruffini $(3 x^{3} - 2 x^{2} + 4) : (x - 1)$ .

Mostra la soluzione

Manca il termine in $x$ : coefficienti $3, - 2, 0, 4$ ; nell'angolo $1$ .

abbassi $3$ ;
$3 \cdot 1 = 3$ , $- 2 + 3 = 1$ ;
$1 \cdot 1 = 1$ , $0 + 1 = 1$ ;
$1 \cdot 1 = 1$ , $4 + 1 = 5$ .

$Q (x) = 3 x^{2} + x + 1$ , $R = 5$ .

3. Esegui con Ruffini $(x^{3} - 8) : (x - 2)$ .

Mostra la soluzione

Coefficienti $1, 0, 0, - 8$ ; nell'angolo $2$ .

abbassi $1$ ;
$1 \cdot 2 = 2$ , $0 + 2 = 2$ ;
$2 \cdot 2 = 4$ , $0 + 4 = 4$ ;
$4 \cdot 2 = 8$ , $- 8 + 8 = 0$ .

$Q (x) = x^{2} + 2 x + 4$ , $R = 0$ : $x^{3} - 8$ è divisibile per $x - 2$ .

Livello medio

4. Senza fare la divisione, trova il resto di $(x^{4} + 2 x^{3} - x + 5) : (x + 2)$ .

Mostra la soluzione

Per il teorema del resto basta calcolare $P (- 2)$ :

$P (- 2) = 16 + 2 \cdot (- 8) - (- 2) + 5 = 16 - 16 + 2 + 5 = 7$ Il resto è $7$ .

5. Trova $k$ in modo che $x^{3} + k x - 6$ sia divisibile per $x - 2$ .

Mostra la soluzione

Deve essere $P (2) = 0$ :

$8 + 2 k - 6 = 0 \Rightarrow 2 k = - 2 \Rightarrow k = - 1$

6. Scomponi $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Mostra la soluzione

$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , quindi Ruffini con $1$ sui coefficienti $1, - 2, - 5, 6$ : si ottiene $1, - 1, - 6$ con resto $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ .

Il trinomio ha somma $- 1$ e prodotto $- 6$ : i numeri sono $- 3$ e $2$ .

Risultato: $(x - 1) (x - 3) (x + 2)$ .

Livello verifica

7. Scomponi $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ .

Mostra la soluzione

Coefficienti $1, 3, 0, - 4$ (manca la $x$ ). $P (1) = 1 + 3 - 4 = 0$ .

Ruffini con $1$ : abbassi $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $0 + 4 = 4$ ; $- 4 + 4 = 0$ . Quoziente $x^{2} + 4 x + 4$ .

Il quoziente è un quadrato di binomio: $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ .

Risultato: $x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 1) (x + 2)^{2}$ .

8. Scomponi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3$ .

Mostra la soluzione

Candidati: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$ .

$P (1) = 2 - 5 - 4 + 3 = - 4$ : no. $P (- 1) = - 2 - 5 + 4 + 3 = 0$ : sì.

Ruffini con $- 1$ sui coefficienti $2, - 5, - 4, 3$ :

abbassi $2$ ;
$2 \cdot (- 1) = - 2$ , $- 5 - 2 = - 7$ ;
$- 7 \cdot (- 1) = 7$ , $- 4 + 7 = 3$ ;
$3 \cdot (- 1) = - 3$ , $3 - 3 = 0$ .

Quoziente $2 x^{2} - 7 x + 3$ . Si annulla per $x = 3$ ( $18 - 21 + 3 = 0$ ): Ruffini con $3$ dà $2 x - 1$ .

Risultato: $(x + 1) (x - 3) (2 x - 1)$ .

Dove si usa dopo

Ruffini è uno degli attrezzi della scomposizione dei polinomi: conviene tirarlo fuori solo quando raccoglimento e prodotti notevoli non bastano. Una volta che sai scomporre, lo ritrovi nelle frazioni algebriche, dove i denominatori vanno scomposti prima di tutto, e nelle equazioni fratte. Se invece ti serve ripassare grado, ordine e coefficienti, parti dai polinomi.

Domande frequenti

Quando si può usare la regola di Ruffini?

Quando dividi un polinomio per un binomio di primo grado del tipo x − a oppure x + a. Se il divisore ha grado 2 o più, Ruffini non funziona e devi fare la divisione tra polinomi in colonna.

Che numero si mette nell'angolo dello schema di Ruffini?

Il numero che annulla il divisore. Per x − 3 metti 3, per x + 3 metti −3. Il trucco è risolvere a mente divisore = 0 e scrivere quella soluzione.

Cosa faccio se nel polinomio manca un termine?

Scrivi uno zero al suo posto. Se dividi x³ − 8, i coefficienti sono 1, 0, 0, −8: senza gli zeri lo schema è sbagliato fin dall'inizio.

Come trovo il numero giusto per scomporre con Ruffini?

Prova i divisori del termine noto, con il più e con il meno. Se il primo coefficiente non è 1, prova anche le frazioni che hanno sopra un divisore del termine noto e sotto un divisore del primo coefficiente. Il numero giusto è quello che rende il polinomio uguale a zero.

Che differenza c'è tra teorema del resto e teorema di Ruffini?

Il teorema del resto dice che il resto della divisione per x − a è uguale al valore del polinomio in a. Il teorema di Ruffini ne è la conseguenza: il polinomio è divisibile per x − a solo se quel valore è zero.

Si può usare Ruffini se il divisore è 2x − 1?

Sì, con un passaggio in più. Usi Ruffini con il numero 1/2 (quello che annulla 2x − 1), poi dividi per 2 tutti i coefficienti del quoziente. Il resto invece resta quello che hai trovato.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore2ª superiore

Regola di Ruffini: come si fa la divisione e come si scompone, con esempi ed esercizi svolti

Quando si usa la regola di Ruffini

Lo schema di Ruffini passo per passo

Se manca un termine o il divisore è x + a

Il teorema del resto: il resto senza fare la divisione

Come scomporre un polinomio con Ruffini

Primo esempio: x³ − 4x² + x + 6

Secondo esempio: primo coefficiente diverso da 1

Gli errori da verifica

Ruffini con divisore 2x − 1

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dove si usa dopo

Domande frequenti

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