Matematica · Calcolo letterale

Polinomi: cosa sono, grado, somma e prodotto, con esempi ed esercizi svolti

I polinomi spiegati semplici: termini, grado, polinomi ordinati, completi e omogenei, somma, differenza, prodotto e valore numerico, con esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 7 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Due polinomi scritti uno sotto l'altro con i termini simili colorati dello stesso colore e uniti da frecce, per mostrare come si sommano

In breve

Un polinomio è una somma algebrica di monomi non simili tra loro, come 3x² − 2x + 1. Il suo grado è il grado più alto tra quelli dei suoi termini. Per sommare due polinomi si sommano i termini simili; per moltiplicarli si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo e poi si riducono i simili.

I polinomi sono somme di monomi, come $3 x^{2} - 2 x + 1$ . Sono il cuore del calcolo letterale di prima superiore: da qui si passa ai prodotti notevoli, alla divisione, alle scomposizioni e alle equazioni. In questa pagina trovi cosa sono i polinomi, come si calcola il grado, cosa vuol dire ordinato, completo e omogeneo, come si fanno somma, differenza e prodotto, come si calcola il valore numerico, gli errori più frequenti ed esercizi con soluzione.

Che cos'è un polinomio

Un polinomio è una somma algebrica di monomi non simili tra loro. Ogni monomio è un termine del polinomio. Se non ricordi bene cosa sono i monomi e quando sono simili, ripassa prima l'articolo sui monomi: qui li diamo per scontati.

Alcuni nomi che userai:

binomio: due termini, come $x + 5$ ;
trinomio: tre termini, come $a^{2} - 3 ab + b^{2}$ ;
termine noto: il termine senza lettere, come il $+ 1$ in $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

Prima di tutto un polinomio va ridotto: se ci sono termini simili, li sommi. Per esempio $2 x^{2} + 5 x - x^{2} + 3$ si riduce a $x^{2} + 5 x + 3$ .

Il grado di un polinomio

Esempio

Prendi $P = 3 x^{2} y - 2 x y + 5 y^{3} - 1$ .

gradi dei termini: $3 x^{2} y$ ha grado $3$ ; $- 2 x y$ ha grado $2$ ; $5 y^{3}$ ha grado $3$ ; $- 1$ ha grado $0$
grado del polinomio: $3$
grado rispetto a $x$ : $2$ (l'esponente più alto di $x$ è in $3 x^{2} y$ )
grado rispetto a $y$ : $3$ (in $5 y^{3}$ )

Polinomi ordinati, completi e omogenei

Queste tre parole compaiono spesso nelle domande di teoria e negli esercizi di "riconoscimento".

Ordinato. Un polinomio è ordinato secondo una lettera quando i termini sono scritti con gli esponenti di quella lettera che scendono (ordine decrescente) o salgono (crescente). Il polinomio $2 x - 5 + x^{3} - 4 x^{2}$ , ordinato in modo decrescente, diventa:

x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 5

Completo. Un polinomio in una lettera è completo se compaiono tutte le potenze di quella lettera, dalla più alta fino al termine noto. Quello sopra è completo: ci sono $x^{3}$ , $x^{2}$ , $x$ e il termine noto. Invece $x^{4} - 3 x^{2} + 1$ non è completo: mancano $x^{3}$ e $x$ . Lo puoi completare scrivendo i termini mancanti con coefficiente zero:

x^{4} + 0 x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 1

Sembra un dettaglio inutile, ma ti servirà nella divisione tra polinomi e con la regola di Ruffini, dove gli zeri tengono il posto ai termini che mancano.

Omogeneo. Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. $a^{2} + 3 ab - b^{2}$ è omogeneo di grado $2$ : ogni termine ha grado $2$ .

Somma e differenza di polinomi

Per sommare due polinomi togli le parentesi e riduci i termini simili.

(3 x^{2} - 2 x + 1) + (x^{2} + 5 x - 4) = 3 x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 5 x - 4 = 4 x^{2} + 3 x - 3

Per la differenza c'è un solo punto delicato: il meno davanti alla parentesi cambia il segno di tutti i termini dentro, non solo del primo.

(3 x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} + 5 x - 4) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} - 5 x + 4 = 2 x^{2} - 7 x + 5

Prodotto di polinomi

Monomio per polinomio

Si usa la proprietà distributiva: moltiplichi il monomio per ogni termine del polinomio.

- 2 a (3 a^{2} - a + 4) = - 6 a^{3} + 2 a^{2} - 8 a

Guarda i segni: $- 2 a \cdot (- a) = + 2 a^{2}$ .

Polinomio per polinomio

Moltiplichi ogni termine del primo per ogni termine del secondo, poi riduci i simili.

(x + 3) (2 x - 5) = 2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 2 x^{2} + x - 15

Un controllo utile: se il primo polinomio ha 2 termini e il secondo 3, prima di ridurre devi avere $2 \cdot 3 = 6$ termini.

(a - 2) (a^{2} + 3 a - 1) = a^{3} + 3 a^{2} - a - 2 a^{2} - 6 a + 2 = a^{3} + a^{2} - 7 a + 2

Il grado del prodotto è la somma dei gradi: qui $1 + 2 = 3$ .

Alcuni prodotti tra polinomi tornano così spesso che conviene impararne il risultato a memoria: sono i prodotti notevoli, come $(a + b)^{2}$ o $(a + b) (a - b)$ .

Il valore numerico di un polinomio

Calcolare il valore numerico vuol dire sostituire alle lettere dei numeri e fare i conti. Si scrive $P (x)$ per dire "il polinomio $P$ nella lettera $x$ ", e $P (- 2)$ per il suo valore quando $x = - 2$ .

Esempio

Se $P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ , calcola $P (- 2)$ .

P (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) + 1 = 2 \cdot 4 + 6 + 1 = 15

Il numero negativo va sempre tra parentesi: senza, rischi di calcolare $- 2^{2} = - 4$ invece di $(- 2)^{2} = 4$ .

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Ordina in modo decrescente e trova il grado di $4 x - x^{3} + 7 + 2 x^{2}$ . È completo?

Mostra la soluzione

Ordinato: $- x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 7$ . Grado $3$ . È completo: ci sono tutte le potenze di $x$ da $3$ a $0$ .

2. Il polinomio $3 x^{2} y + x y^{2} - 2 y^{3}$ è omogeneo?

Mostra la soluzione

Sì. I gradi dei termini sono $2 + 1 = 3$ , $1 + 2 = 3$ e $3$ : tutti uguali, quindi è omogeneo di grado $3$ .

3. Calcola $(5 a^{2} - 3 a + 2) - (2 a^{2} - 3 a - 6)$ .

Mostra la soluzione

cambi i segni del secondo: $5 a^{2} - 3 a + 2 - 2 a^{2} + 3 a + 6$
riduci: $5 a^{2} - 2 a^{2} = 3 a^{2}$ ; $- 3 a + 3 a = 0$ ; $2 + 6 = 8$

Risultato: $3 a^{2} + 8$

Livello medio

4. Calcola $3 x y (2 x - y + 1)$ .

Mostra la soluzione

$3 x y \cdot 2 x - 3 x y \cdot y + 3 x y \cdot 1 = 6 x^{2} y - 3 x y^{2} + 3 x y$

5. Calcola $(2 x - 1) (x + 4)$ .

Mostra la soluzione

$2 x^{2} + 8 x - x - 4 = 2 x^{2} + 7 x - 4$

6. Calcola $(x^{2} - 2 x + 3) (x - 1)$ .

Mostra la soluzione

$x^{2} \cdot x - x^{2} \cdot 1 = x^{3} - x^{2}$
$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot (- 1) = - 2 x^{2} + 2 x$
$3 \cdot x + 3 \cdot (- 1) = 3 x - 3$
riduci: $x^{3} - x^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 3 x - 3$

Risultato: $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3$

Livello verifica

7. Semplifica $2 (x - 3) (x + 1) - (x^{2} - 4 x)$ .

Mostra la soluzione

$(x - 3) (x + 1) = x^{2} + x - 3 x - 3 = x^{2} - 2 x - 3$
per $2$ : $2 x^{2} - 4 x - 6$
sottrai: $2 x^{2} - 4 x - 6 - x^{2} + 4 x$

Risultato: $x^{2} - 6$

8. Calcola $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

Mostra la soluzione

$a \cdot (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2} b + a b^{2}$
$b \cdot (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$
sommando, $- a^{2} b$ e $+ a^{2} b$ si cancellano, come $+ a b^{2}$ e $- a b^{2}$

Risultato: $a^{3} + b^{3}$ . È la somma di due cubi, che rivedrai nelle scomposizioni.

9. Calcola il valore di $P (a, b) = a^{2} b - 3 ab + b^{2}$ per $a = - 1$ e $b = 2$ .

Mostra la soluzione

$a^{2} b = (- 1)^{2} \cdot 2 = 2$
$- 3 ab = - 3 \cdot (- 1) \cdot 2 = 6$
$b^{2} = 4$

$P (- 1, 2) = 2 + 6 + 4 = 12$

Dopo i polinomi

Con somma e prodotto sotto controllo, il passo successivo sono i prodotti notevoli, che ti fanno risparmiare metà dei passaggi. Poi arriva la divisione tra polinomi, che funziona come la divisione in colonna tra numeri. E alla fine tutto converge nella scomposizione dei polinomi, dove fai il cammino inverso: parti dal polinomio e trovi i fattori che lo hanno prodotto.

Domande frequenti

Che differenza c'è tra monomio e polinomio?

Un monomio è un solo termine, fatto di moltiplicazioni tra numeri e lettere, come 4x². Un polinomio è una somma di più monomi non simili, come 4x² − 3x + 1. Un polinomio con due termini si chiama binomio, con tre trinomio.

Come si trova il grado di un polinomio?

Calcoli il grado di ogni termine (la somma degli esponenti delle sue lettere) e prendi il più grande. In x³y − 2xy + 5 i gradi dei termini sono 4, 2 e 0, quindi il polinomio ha grado 4. Attenzione: non si sommano i gradi dei termini tra loro.

Quando un polinomio è completo?

Un polinomio in una lettera è completo quando contiene tutte le potenze di quella lettera, dal grado del polinomio fino al termine noto. Per esempio x³ + 2x² − x + 4 è completo, mentre x³ + 4 no, perché mancano x² e x. Per completarlo si scrivono i termini mancanti con coefficiente zero.

Come si moltiplicano due polinomi?

Moltiplichi ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo, con la regola dei segni, e poi sommi i termini simili. Se il primo ha 2 termini e il secondo 3, prima di ridurre devi avere 6 prodotti. Il grado del risultato è la somma dei gradi dei due polinomi.

Che cos'è il valore numerico di un polinomio?

È il numero che ottieni sostituendo alle lettere dei valori precisi e facendo i calcoli. Se P(x) = 2x² − 3x + 1 e x = −2, ottieni 8 + 6 + 1 = 15. Quando sostituisci un numero negativo mettilo sempre tra parentesi.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

Polinomi: cosa sono, grado, somma e prodotto, con esempi ed esercizi svolti

Che cos'è un polinomio

Il grado di un polinomio

Esempio

Polinomi ordinati, completi e omogenei

Somma e differenza di polinomi

Prodotto di polinomi

Monomio per polinomio

Polinomio per polinomio

Il valore numerico di un polinomio

Esempio

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dopo i polinomi

Domande frequenti

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