Divisione tra polinomi: il metodo passo per passo, con esempi ed esercizi svolti

La divisione tra polinomi si fa con lo stesso metodo della divisione in colonna tra numeri che hai imparato alle elementari: dividi, moltiplichi, sottrai, e ripeti finché non puoi più andare avanti. Qui trovi il metodo passo per passo con il perché di ogni mossa, la divisione per un monomio, tre esempi svolti completi, gli errori che costano più punti e nove esercizi con soluzione.

Che cosa vuol dire dividere due polinomi

Quando fai $157:12$ ottieni $13$ con resto $1$, e puoi controllare che $12\cdot 13+1=157$. Con i polinomi succede la stessa cosa: dato un dividendo $A$ e un divisore $B$, cerchi un quoziente $Q$ e un resto $R$ tali che

con il grado di $R$ minore del grado di $B$. Se $R=0$ la divisione è esatta e si dice che $A$ è divisibile per $B$.

Dividere un polinomio per un monomio

È il caso più semplice: dividi ogni termine del polinomio per il monomio, con le regole del quoziente tra monomi (dividi i coefficienti, sottrai gli esponenti).

Infatti $6x^3:3x=2x^2$, $-9x^2:3x=-3x$, $3x:3x=1$. Attenzione all'ultimo: fa $1$, non $0$. Se lo dimentichi, il quoziente è sbagliato.

Il metodo passo per passo

Quando il divisore ha più di un termine, si usa la divisione in colonna. Prima di cominciare ci sono due preparativi, poi tre mosse da ripetere.

Preparativi:

1. Ordina dividendo e divisore secondo le potenze decrescenti della lettera.
2. Completa il dividendo: se manca una potenza, scrivila con coefficiente $0$.

Le tre mosse (da ripetere):

1. Dividi il primo termine del dividendo (o di quello che resta) per il primo termine del divisore. Il risultato è un termine del quoziente.
2. Moltiplica quel termine per tutto il divisore.
3. Sottrai il prodotto da quello che hai: cioè cambia tutti i segni del prodotto e somma.

Ti fermi quando quello che resta ha grado minore del divisore. Quello è il resto.

Perché funziona? A ogni giro scegli il termine del quoziente in modo da cancellare il termine di grado più alto. Così il grado scende di almeno uno a ogni sottrazione e prima o poi diventa più piccolo di quello del divisore.

Esempi svolti

Esempio 1: divisore di primo grado

Calcola $(2x^3-3x^2+4x-5):(x-2)$.

Il dividendo è già ordinato e completo. Andiamo:

1. $2x^3:x=2x^2$. Moltiplichi: $2x^2(x-2)=2x^3-4x^2$. Sottrai: $(2x^3-3x^2)-(2x^3-4x^2)=x^2$. Abbassi gli altri termini: resta $x^2+4x-5$.
2. $x^2:x=x$. Moltiplichi: $x(x-2)=x^2-2x$. Sottrai: resta $6x-5$.
3. $6x:x=6$. Moltiplichi: $6(x-2)=6x-12$. Sottrai: $(6x-5)-(6x-12)=7$.

Il $7$ ha grado $0$, minore del grado del divisore: ti fermi.

Prova: $(x-2)(2x^2+x+6)+7=2x^3+x^2+6x-4x^2-2x-12+7=2x^3-3x^2+4x-5$. Torna.

Esempio 2: un termine che manca

Calcola $(x^3-8):(x-2)$.

Il dividendo non è completo: mancano $x^2$ e $x$. Lo scrivi così: $x^3+0x^2+0x-8$.

1. $x^3:x=x^2$. Moltiplichi: $x^3-2x^2$. Sottrai: resta $2x^2+0x-8$.
2. $2x^2:x=2x$. Moltiplichi: $2x^2-4x$. Sottrai: resta $4x-8$.
3. $4x:x=4$. Moltiplichi: $4x-8$. Sottrai: resta $0$.

Il resto è zero: $x^3-8$ è divisibile per $x-2$. Questo fatto, che un resto nullo vuol dire "posso scrivere il polinomio come prodotto", è la base della scomposizione dei polinomi.

Esempio 3: divisore di secondo grado

Calcola $(4x^4+3x^2+5x-5):(2x^2+x-1)$.

Completa il dividendo: $4x^4+0x^3+3x^2+5x-5$.

Il resto $x-2$ ha grado $1$, minore del grado del divisore ($2$): ti fermi.

Il grado del quoziente è $4-2=2$, come previsto dalla regola.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola $(10a^4-15a^3+5a^2):(5a^2)$.

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Dividi ogni termine per $5a^2$: $2a^2-3a+1$.

2. Calcola $(x^2-7x+12):(x-3)$.

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1. $x^2:x=x$; $x(x-3)=x^2-3x$; resta $-4x+12$
2. $-4x:x=-4$; $-4(x-3)=-4x+12$; resta $0$

$Q=x-4$, $R=0$

3. Calcola $(2x^2+3x-4):(x+2)$.

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1. $2x^2:x=2x$; $2x(x+2)=2x^2+4x$; resta $-x-4$
2. $-x:x=-1$; $-1(x+2)=-x-2$; resta $-2$

$Q=2x-1$, $R=-2$

Livello medio

4. Calcola $(3x^3+2x^2-x+5):(x+1)$.

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1. $3x^3:x=3x^2$; $3x^2(x+1)=3x^3+3x^2$; resta $-x^2-x+5$
2. $-x^2:x=-x$; $-x(x+1)=-x^2-x$; resta $5$

$Q=3x^2-x$, $R=5$. Il quoziente non ha termine noto, ed è giusto così.

5. Calcola $(x^3+27):(x+3)$.

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Completa: $x^3+0x^2+0x+27$.

1. $x^2$; $x^2(x+3)=x^3+3x^2$; resta $-3x^2+0x+27$
2. $-3x$; $-3x(x+3)=-3x^2-9x$; resta $9x+27$
3. $9$; $9(x+3)=9x+27$; resta $0$

$Q=x^2-3x+9$, $R=0$

6. Calcola $(a^3-3a^2+3a-1):(a-1)$.

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1. $a^2$; $a^2(a-1)=a^3-a^2$; resta $-2a^2+3a-1$
2. $-2a$; $-2a(a-1)=-2a^2+2a$; resta $a-1$
3. $1$; $1(a-1)=a-1$; resta $0$

$Q=a^2-2a+1$, $R=0$. Curiosità: il quoziente è $(a-1{)}^2$, perché il dividendo è il cubo $(a-1{)}^3$.

Livello verifica

7. Calcola $(x^4-1):(x^2+1)$.

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Completa il dividendo: $x^4+0x^3+0x^2+0x-1$. Anche il divisore va pensato completo: $x^2+0x+1$.

1. $x^4:x^2=x^2$; $x^2(x^2+1)=x^4+x^2$; resta $-x^2+0x-1$
2. $-x^2:x^2=-1$; $-1(x^2+1)=-x^2-1$; resta $0$

$Q=x^2-1$, $R=0$

8. Calcola $(6x^3-2x^2+4x-1):(2x^2+1)$.

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1. $6x^3:2x^2=3x$; $3x(2x^2+1)=6x^3+3x$; resta $-2x^2+x-1$
2. $-2x^2:2x^2=-1$; $-1(2x^2+1)=-2x^2-1$; resta $x$

$Q=3x-1$, $R=x$. Il resto ha grado $1$, minore di $2$: ci si ferma.

9. Trova il valore di $k$ per cui $x^2+kx-6$ è divisibile per $x-2$.

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Fai la divisione tenendo $k$ come un numero:

1. $x^2:x=x$; $x(x-2)=x^2-2x$; resta $(k+2)x-6$
2. $(k+2)x:x=k+2$; $(k+2)(x-2)=(k+2)x-2k-4$; resta $-6+2k+4=2k-2$

Divisibile vuol dire resto zero: $2k-2=0$, quindi $k=1$. Controllo: $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$.

La scorciatoia per i divisori del tipo x − a

Hai notato che negli esercizi con divisore $x-2$ o $x+3$ i conti si ripetono sempre uguali? Per questi casi esiste un metodo molto più veloce, che lavora solo sui coefficienti: la regola di Ruffini. Prima però conviene saper fare bene la divisione in colonna, perché Ruffini è la stessa cosa scritta in forma compatta. Se le sottrazioni ti mettono in crisi, ripassa somma e differenza dei polinomi: quasi sempre l'errore è lì, non nella divisione.