Esercizi sui prodotti notevoli svolti: 27 esercizi dal facile al livello verifica

$m^2+2\cdot m\cdot 5+25=m^2+10m+25$

• $(4x{)}^2=16x^2$
• $2\cdot 4x\cdot 3=24x$, con il meno
• $3^2=9$

$(4x-3{)}^2=16x^2-24x+9$

$(2a{)}^2+2\cdot 2a\cdot 3b+(3b{)}^2=4a^2+12ab+9b^2$

Il primo termine è $x^2$: il suo quadrato è $x^4$.

$(x^2-5{)}^2=x^4-10x^2+25$

• ${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{1}{4}{a}^2$
• $2\cdot \frac{1}{2}a\cdot 4=4a$
• $4^2=16$

${\left(\frac{1}{2}a+4\right)}^2=\frac{1}{4}{a}^2+4a+16$

I termini sono $-2y$ e $7$. Il doppio prodotto è $2\cdot (-2y)\cdot 7=-28y$.

$(-2y+7{)}^2=4y^2-28y+49$

$x^2-36$

$(3a{)}^2-(5b{)}^2=9a^2-25b^2$

L'ordine dei fattori non conta: il termine uguale è $2x^3$, quello che cambia segno è $1$.

$(2x^3{)}^2-1^2=4x^6-1$

Il termine con lo stesso segno nei due binomi è $-a$, quello che cambia è $4$.

$(-a{)}^2-4^2=a^2-16$

Guarda $x+y$ come un unico blocco: è uguale nei due fattori, mentre $1$ cambia segno.

• $(x+y+1)(x+y-1)=(x+y{)}^2-1$
• $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

Risultato: $x^2+2xy+y^2-1$

• $a^3$
• $3\cdot a^2\cdot 2=6a^2$
• $3\cdot a\cdot 2^2=12a$
• $2^3=8$

$(a+2{)}^3=a^3+6a^2+12a+8$

• $(3x{)}^3=27x^3$
• $3\cdot (3x{)}^2\cdot 1=3\cdot 9x^2=27x^2$, con il meno
• $3\cdot 3x\cdot 1^2=9x$, con il più
• $1^3=1$, con il meno

$(3x-1{)}^3=27x^3-27x^2+9x-1$

• $x^3$
• $3\cdot x^2\cdot 2y=6x^{2}y$
• $3\cdot x\cdot (2y{)}^2=3\cdot x\cdot 4y^2=12x{y}^2$
• $(2y{)}^3=8y^3$

$(x+2y{)}^3=x^3+6x^{2}y+12x{y}^2+8y^3$

Primo termine $-a$, secondo $b$.

• $(-a{)}^3=-a^3$
• $3\cdot (-a{)}^2\cdot b=3a^{2}b$
• $3\cdot (-a)\cdot b^2=-3a{b}^2$
• $b^3$

$(-a+b{)}^3=-a^3+3a^{2}b-3a{b}^2+b^3$

• quadrati: $a^2$, $b^2$, $9$
• doppi prodotti: $2ab$, $2\cdot a\cdot 3=6a$, $2\cdot b\cdot 3=6b$

$(a+b+3{)}^2=a^2+b^2+9+2ab+6a+6b$

Termini: $2x$, $-y$, $1$.

• quadrati: $4x^2$, $y^2$, $1$
• doppi prodotti: $2\cdot 2x\cdot (-y)=-4xy$; $2\cdot 2x\cdot 1=4x$; $2\cdot (-y)\cdot 1=-2y$

$(2x-y+1{)}^2=4x^2+y^2+1-4xy+4x-2y$

Termini: $x^2$, $x$, $-1$.

• quadrati: $x^4$, $x^2$, $1$
• doppi prodotti: $2\cdot x^2\cdot x=2x^3$; $2\cdot x^2\cdot (-1)=-2x^2$; $2\cdot x\cdot (-1)=-2x$

Ora sommi i simili: $x^2-2x^2=-x^2$.

$(x^2+x-1{)}^2=x^4+2x^3-x^2-2x+1$

• $(a+3{)}^2=a^2+6a+9$
• $(a-3{)}^2=a^2-6a+9$
• $a^2+6a+9-(a^2-6a+9)=a^2+6a+9-a^2+6a-9$

Risultato: $12a$

Due somme per differenza a catena.

• $(x-1)(x+1)=x^2-1$
• $(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$

Risultato: $x^4-1$

• $(2a+1{)}^2=4a^2+4a+1$
• $(2a+1)(2a-1)=4a^2-1$
• $2(2a+1)=4a+2$
• $4a^2+4a+1-(4a^2-1)-(4a+2)=4a^2+4a+1-4a^2+1-4a-2$

Risultato: $0$. Sì, può succedere: un'espressione può valere zero per qualunque valore di $a$.

• $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$
• $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$, quindi $x(x+3{)}^2=x^3+6x^2+9x$
• $x^3+6x^2+12x+8-(x^3+6x^2+9x)=3x+8$

Risultato: $3x+8$

• $(a-b{)}^2+(a+b{)}^2=a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2$
• $2(a+b)(a-b)=2(a^2-b^2)=2a^2-2b^2$
• $2a^2+2b^2-(2a^2-2b^2)=4b^2$

Risultato: $4b^2$

• $102^2=(100+2{)}^2=10000+400+4=10404$
• $39\cdot 41=(40-1)(40+1)=1600-1=1599$

• $x^2$ è il quadrato di $x$, $49$ è il quadrato di $7$
• controllo del doppio prodotto: $2\cdot x\cdot 7=14x$, c'è

$x^2+14x+49=(x+7{)}^2$

• $9a^2=(3a{)}^2$ e $4b^2=(2b{)}^2$
• doppio prodotto: $2\cdot 3a\cdot 2b=12ab$, con il meno

$9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b{)}^2$

È una differenza di quadrati: $16y^2=(4y{)}^2$ e $25=5^2$.

$16y^2-25=(4y+5)(4y-5)$