Matematica · Equazioni e disequazioni

Equazioni di primo grado: come si risolvono, spiegato semplice, con esercizi svolti

Equazioni di primo grado spiegate semplici: principi di equivalenza col perché, equazioni con le frazioni, impossibili e indeterminate, 10 esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 9 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Una bilancia a due piatti in equilibrio: su un piatto 3x + 2, sull'altro 11, con la x evidenziata in giallo

In breve

Un'equazione di primo grado si risolve portando i termini con la x da una parte e i numeri dall'altra, cambiando segno a chi attraversa l'uguale, e poi dividendo per il coefficiente della x. Se ci sono frazioni, prima si moltiplica tutto per il m.c.m. dei denominatori. Alla fine l'equazione può avere una soluzione (determinata), nessuna (impossibile) o infinite (indeterminata).

Le equazioni di primo grado sono la prima cosa davvero nuova della matematica delle superiori, e si risolvono sempre con lo stesso metodo: si semplifica, si portano le x da una parte e i numeri dall'altra, si divide. Qui trovi il perché di ogni mossa (così non sbagli i segni), come si gestiscono parentesi e frazioni, come riconoscere un'equazione impossibile o indeterminata, gli errori che costano voti e 10 esercizi con le soluzioni passo per passo.

Che cos'è un'equazione di primo grado

Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni che contiene una lettera sconosciuta, l'incognita (di solito $x$ ). Risolverla vuol dire trovare il numero che, messo al posto della $x$ , rende l'uguaglianza vera.

Prendi $3 x + 2 = 11$ . Se provi $x = 3$ ottieni $9 + 2 = 11$ : vero. Quindi $3$ è la soluzione. L'espressione a sinistra dell'uguale si chiama primo membro, quella a destra secondo membro.

È di primo grado perché, dopo aver fatto tutti i conti, la $x$ compare al massimo con esponente $1$ . Qualsiasi equazione di primo grado, per quanto lunga, alla fine diventa:

I principi di equivalenza, con il perché

Pensa all'equazione come a una bilancia in equilibrio: a sinistra $3 x + 2$ , a destra $11$ . Puoi fare qualunque cosa, purché la faccia su entrambi i piatti: l'equilibrio resta. Le due regole che ne vengono fuori si chiamano principi di equivalenza, perché trasformano l'equazione in una equivalente, cioè con le stesse soluzioni.

Primo principio: aggiungere o togliere lo stesso termine

Se aggiungi o togli lo stesso numero (o la stessa espressione) a entrambi i membri, le soluzioni non cambiano. Su $3 x + 2 = 11$ togli $2$ da tutte e due le parti:

3 x + 2 - 2 = 11 - 2 \Rightarrow 3 x = 9

Guarda cosa è successo: il $+ 2$ è sparito da sinistra ed è comparso come $- 2$ a destra. Ecco da dove viene la famosa regola del trasporto: un termine può passare dall'altra parte dell'uguale cambiando segno. Non è magia, è il primo principio fatto di corsa.

Una conseguenza utile: se lo stesso termine compare in entrambi i membri, puoi cancellarlo. Da $x^{2} + 5 x = x^{2} + 10$ resta $5 x = 10$ .

Secondo principio: moltiplicare o dividere per lo stesso numero

Se moltiplichi o dividi entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero, le soluzioni non cambiano. Da $3 x = 9$ dividi tutto per $3$ :

\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3} \Rightarrow x = 3

Perché diverso da zero? Perché moltiplicando per $0$ qualsiasi equazione diventa $0 = 0$ e perdi ogni informazione, e per $0$ non si può dividere. Da questo principio vengono due mosse che userai sempre:

cambiare tutti i segni (è moltiplicare per $- 1$ ): $- 2 x = - 8$ diventa $2 x = 8$ ;
togliere i denominatori moltiplicando tutto per il loro m.c.m.

Il metodo passo per passo

Per qualsiasi equazione intera (cioè senza la $x$ al denominatore) l'ordine è questo:

Togli le parentesi: proprietà distributiva e prodotti notevoli.
Togli i denominatori: moltiplica ogni termine per il m.c.m. dei denominatori.
Trasporta: termini con la $x$ a sinistra, numeri a destra, cambiando segno a chi attraversa l'uguale.
Somma i termini simili: arrivi a $a x = b$ .
Dividi per il coefficiente $a$ (se è diverso da zero) e scrivi la soluzione.
Verifica: sostituisci il risultato nell'equazione di partenza. Ci metti 30 secondi e ti salva la verifica.

Esempi svolti

Esempio 1: la più semplice

3 x - 5 = 7

Trasporto il $- 5$ , che diventa $+ 5$ : $3 x = 7 + 5$ , cioè $3 x = 12$ . Divido per $3$ : $x = 4$ .

Verifica: $3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ . Giusto.

Esempio 2: con le parentesi

5 (x - 2) - 3 = 2 x + 1

Tolgo la parentesi: $5 x - 10 - 3 = 2 x + 1$ . Porto $2 x$ a sinistra e i numeri a destra:

5 x - 2 x = 1 + 10 + 3 \Rightarrow 3 x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{3}

La soluzione può benissimo essere una frazione: non è un segnale di errore.

Esempio 3: con i prodotti notevoli

(x + 1)^{2} - (x - 2) (x + 2) = 3 x

Sviluppo il quadrato di binomio e la somma per differenza, tenendo la seconda tra parentesi perché davanti c'è un meno:

x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 4) = 3 x \Rightarrow x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 4 = 3 x

I due $x^{2}$ si cancellano (per questo l'equazione resta di primo grado): $2 x + 5 = 3 x$ , quindi $2 x - 3 x = - 5$ , cioè $- x = - 5$ e $x = 5$ .

Verifica: $(6)^{2} - (3) (7) = 36 - 21 = 15$ e $3 \cdot 5 = 15$ . Giusto.

Esempio 4: con i denominatori

\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 3}{3} = \frac{1}{6}

Il m.c.m. tra $2$ , $3$ e $6$ è $6$ . Moltiplico ogni termine per $6$ : il primo diventa $3 (x - 1)$ , il secondo $2 (x + 3)$ , il terzo $1$ .

3 (x - 1) - 2 (x + 3) = 1 \Rightarrow 3 x - 3 - 2 x - 6 = 1 \Rightarrow x = 10

Nota il $- 6$ : il meno davanti alla frazione vale per tutto il numeratore, quindi $- 2 (x + 3) = - 2 x - 6$ .

Esempio 5: denominatori e un termine intero

\frac{x}{4} + \frac{2 x - 1}{6} = x - \frac{3}{2}

Il m.c.m. tra $4$ , $6$ e $2$ è $12$ . Anche la $x$ da sola va moltiplicata per $12$ :

3 x + 2 (2 x - 1) = 12 x - 18 \Rightarrow 3 x + 4 x - 2 = 12 x - 18

7 x - 12 x = - 18 + 2 \Rightarrow - 5 x = - 16 \Rightarrow x = \frac{16}{5}

Equazioni impossibili e indeterminate

A volte, semplificando, la $x$ sparisce del tutto. Non hai sbagliato: devi solo leggere quello che resta.

Impossibile. Risolvi $2 (x + 3) = 2 x + 1$ :

2 x + 6 = 2 x + 1 \Rightarrow 2 x - 2 x = 1 - 6 \Rightarrow 0 x = - 5

Nessun numero moltiplicato per $0$ dà $- 5$ . L'equazione non ha soluzioni: si scrive $S = \emptyset$ .

Indeterminata. Risolvi $3 (x - 2) + x = 4 x - 6$ :

3 x - 6 + x = 4 x - 6 \Rightarrow 4 x - 4 x = - 6 + 6 \Rightarrow 0 x = 0

Qualsiasi numero va bene: le soluzioni sono infinite, $S = R$ . In pratica il primo e il secondo membro erano la stessa espressione scritta in due modi: un'identità.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Prova da solo, poi apri la soluzione. Se un passaggio non ti torna, rileggi la sezione sul metodo.

Livello base

1. $4 x + 9 = 1$

Mostra la soluzione

$4 x = 1 - 9$ , quindi $4 x = - 8$ e $x = - 2$ . Verifica: $4 \cdot (- 2) + 9 = - 8 + 9 = 1$ .

2. $7 - 2 x = 3 x + 22$

Mostra la soluzione

$- 2 x - 3 x = 22 - 7$ , quindi $- 5 x = 15$ e $x = - 3$ . Verifica: $7 + 6 = 13$ e $- 9 + 22 = 13$ .

3. $3 (2 x - 1) = 4 (x + 2) - 1$

Mostra la soluzione

$6 x - 3 = 4 x + 8 - 1$ , cioè $6 x - 3 = 4 x + 7$ . Poi $6 x - 4 x = 7 + 3$ , quindi $2 x = 10$ e $x = 5$ .

4. $0, 5 x + 1, 2 = 0, 2 x - 0, 3$

Mostra la soluzione

Moltiplico tutto per $10$ per togliere le virgole: $5 x + 12 = 2 x - 3$ . Poi $3 x = - 15$ e $x = - 5$ .

Livello medio

5. $(x - 3)^{2} = x^{2} + 15$

Mostra la soluzione

$x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} + 15$ . Gli $x^{2}$ si cancellano: $- 6 x = 15 - 9$ , cioè $- 6 x = 6$ e $x = - 1$ . Verifica: $(- 4)^{2} = 16$ e $1 + 15 = 16$ .

6. $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$

Mostra la soluzione

m.c.m. $= 6$ : $3 x + 2 x = 60$ , quindi $5 x = 60$ e $x = 12$ . Verifica: $6 + 4 = 10$ .

7. $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 2$

Mostra la soluzione

m.c.m. $= 12$ : $4 (2 x + 1) - 3 (x - 2) = 24$ .

$8 x + 4 - 3 x + 6 = 24$
$5 x + 10 = 24$
$5 x = 14$ , quindi $x = \frac{14}{5}$

Livello verifica

8. $2 (x - 1) - 3 (x + 2) = - (x + 5)$

Mostra la soluzione

$2 x - 2 - 3 x - 6 = - x - 5$ , cioè $- x - 8 = - x - 5$ . Porto le $x$ a sinistra: $- x + x = - 5 + 8$ , quindi $0 x = 3$ . L'equazione è impossibile: $S = \emptyset$ .

9. $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1) = x - 4$

Mostra la soluzione

$x^{2} - 4 - x^{2} + x = x - 4$ , cioè $x - 4 = x - 4$ . Quindi $0 x = 0$ : l'equazione è indeterminata, ogni numero reale è soluzione.

10. $\frac{x - 1}{6} - \frac{2 x - 3}{4} = \frac{1 - x}{2}$

Mostra la soluzione

m.c.m. $= 12$ : $2 (x - 1) - 3 (2 x - 3) = 6 (1 - x)$ .

$2 x - 2 - 6 x + 9 = 6 - 6 x$
$- 4 x + 7 = 6 - 6 x$
$- 4 x + 6 x = 6 - 7$ , quindi $2 x = - 1$ e $x = - \frac{1}{2}$

Dove andare adesso

Se queste ti riescono, il passo successivo sono le equazioni fratte, dove la $x$ finisce al denominatore e serve la condizione di esistenza, e le equazioni letterali, dove insieme alla $x$ compaiono altre lettere da discutere. Le equazioni servono soprattutto a risolvere i problemi con le equazioni, e lo stesso metodo, con una sola regola in più sul segno, vale per le disequazioni di primo grado. Se ti incastri sui calcoli con le lettere, ripassa i prodotti notevoli. E per allenarti con esercizi sempre nuovi e corretti al volo c'è Allenati online.

Domande frequenti

Come si risolve un'equazione di primo grado?

Si tolgono le parentesi, si eliminano i denominatori moltiplicando per il m.c.m., si portano i termini con la x a sinistra e i numeri a destra cambiando segno, si sommano i termini simili e infine si divide per il coefficiente della x. Conviene sempre fare la verifica sostituendo il risultato.

Quando un'equazione è impossibile?

Quando, dopo aver semplificato, la x sparisce e resta un'uguaglianza falsa, per esempio 0 = 5. Nessun numero la rende vera, quindi l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Quando un'equazione è indeterminata?

Quando la x sparisce e resta un'uguaglianza sempre vera, come 0 = 0. Qualsiasi numero reale è soluzione: le soluzioni sono infinite.

Se trovo 3x = 0 l'equazione è impossibile?

No. 3x = 0 ha la soluzione x = 0, quindi è determinata. È impossibile solo quando il coefficiente della x è zero e il termine noto no, cioè 0x = un numero diverso da zero.

Perché quando sposto un termine cambia segno?

Perché in realtà non lo sposti: aggiungi o togli lo stesso numero da entrambi i membri (primo principio di equivalenza). Da una parte il termine si annulla, dall'altra compare con il segno opposto.

Cosa vuol dire equazione di primo grado?

Vuol dire che, dopo aver fatto tutti i calcoli, l'incognita x compare al massimo con esponente 1. La forma finale è sempre ax = b, con a e b numeri.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

Equazioni di primo grado: come si risolvono, spiegato semplice, con esercizi svolti

Che cos'è un'equazione di primo grado

I principi di equivalenza, con il perché

Primo principio: aggiungere o togliere lo stesso termine

Secondo principio: moltiplicare o dividere per lo stesso numero

Il metodo passo per passo

Esempi svolti

Esempio 1: la più semplice

Esempio 2: con le parentesi

Esempio 3: con i prodotti notevoli

Esempio 4: con i denominatori

Esempio 5: denominatori e un termine intero

Equazioni impossibili e indeterminate

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dove andare adesso

Domande frequenti

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