Matematica · Equazioni e disequazioni

Problemi con le equazioni: il metodo in 5 passi, con problemi svolti e da fare

Problemi con le equazioni di primo grado: come scegliere l'incognita, impostare l'equazione e controllare il risultato, con tanti problemi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 8 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Un foglio con il testo di un problema sottolineato a pennarello e accanto la tabella dei dati con la x cerchiata

In breve

Per risolvere un problema con le equazioni scegli come incognita x la grandezza che ti chiedono, scrivi tutte le altre in funzione di x, traduci la frase chiave del testo in un'equazione, risolvila e controlla che il risultato abbia senso (per esempio che un numero di persone sia intero e positivo).

I problemi con le equazioni spaventano più delle equazioni stesse, perché la parte difficile non è il calcolo: è capire quale equazione scrivere. La buona notizia è che si usa sempre lo stesso metodo in 5 passi. Qui lo trovi spiegato con il perché, con 6 problemi svolti (età, numeri, geometria, sconti, monete e due casi «trappola») e 8 problemi da fare con la soluzione.

Per risolvere l'equazione finale ti serve saper risolvere le equazioni di primo grado: se lì sei incerto, parti da quell'articolo.

Il metodo in 5 passi

Perché le condizioni di accettabilità contano

L'equazione non sa di cosa parla il problema. Se ti esce $x = 10, 5$ e $x$ sono gli studenti di una classe, l'equazione è risolta benissimo ma il problema no: mezzo studente non esiste. Per questo le condizioni si scrivono prima di risolvere, così alla fine sai subito se il risultato è da accettare o da scartare.

Tradurre il testo in matematica

La metà del lavoro è trasformare le parole in simboli. Questa tabella ti copre la maggior parte dei casi:

Nel testo	In matematica
il doppio, il triplo di un numero	$2 x$ , $3 x$
la metà, un terzo di un numero	$\frac{x}{2}$ , $\frac{x}{3}$
un numero aumentato di 5	$x + 5$
un numero diminuito di 5	$x - 5$
il successivo di un numero intero	$x + 1$
tre numeri consecutivi	$x$ , $x + 1$ , $x + 2$
due numeri pari consecutivi	$x$ , $x + 2$ (con $x$ pari)
la base supera l'altezza di 7	base $= x + 7$ (con $x$ = altezza)
tra 4 anni / 4 anni fa	età $+ 4$ / età $- 4$
il 20% di un numero	$\frac{20}{100} x = 0, 2 x$

Problemi svolti

Problema 1: tre numeri consecutivi

La somma di tre numeri naturali consecutivi è 72. Quali sono?

Incognita: $x$ = il più piccolo, quindi gli altri sono $x + 1$ e $x + 2$ . Condizione: $x$ naturale.

x + (x + 1) + (x + 2) = 72 \Rightarrow 3 x + 3 = 72 \Rightarrow x = 23

$23$ è naturale, quindi accettabile. I numeri sono 23, 24 e 25. Controllo: $23 + 24 + 25 = 72$ .

Problema 2: le età

Un padre ha 41 anni e il figlio 11. Tra quanti anni il padre avrà il triplo dell'età del figlio?

Incognita: $x$ = numero di anni da aspettare. Condizione: $x \geq 0$ . Tra $x$ anni il padre avrà $41 + x$ anni e il figlio $11 + x$ . La frase chiave è «il padre avrà il triplo»:

41 + x = 3 (11 + x) \Rightarrow 41 + x = 33 + 3 x \Rightarrow 8 = 2 x \Rightarrow x = 4

Tra 4 anni. Controllo: il padre avrà $45$ anni, il figlio $15$ , e $45 = 3 \cdot 15$ .

Nota l'errore classico: aggiungere $x$ solo al padre. Il tempo passa per tutti e due.

Problema 3: un rettangolo

Un rettangolo ha il perimetro di 54 cm e la base supera l'altezza di 7 cm. Trova le dimensioni e l'area.

Incognita: $x$ = altezza in cm, quindi la base è $x + 7$ . Condizione: $x > 0$ .

2 \cdot (x + x + 7) = 54 \Rightarrow 4 x + 14 = 54 \Rightarrow x = 10

Altezza 10 cm, base 17 cm, area $10 \cdot 17 = 170$ cm². Controllo: $2 \cdot (10 + 17) = 54$ .

Problema 4: uno sconto

Dopo uno sconto del 20% un paio di scarpe costa 36 €. Quanto costava prima?

Incognita: $x$ = prezzo iniziale in euro, $x > 0$ . Togliere il 20% vuol dire pagare l'80%:

0, 8 x = 36 \Rightarrow x = \frac{36}{0 , 8} = 45

Costava 45 €. Controllo: il 20% di 45 è 9, e $45 - 9 = 36$ . Se vuoi ripassare i calcoli con gli sconti leggi l'articolo sulla percentuale.

Problema 5: le monete

In un salvadanaio ci sono 30 monete, tutte da 1 € e da 2 €, per un totale di 46 €. Quante sono le monete da 2 €?

Incognita: $x$ = monete da 2 €, quindi quelle da 1 € sono $30 - x$ . Condizione: $x$ intero, $0 \leq x \leq 30$ . Il valore totale è:

2 x + 1 \cdot (30 - x) = 46 \Rightarrow x + 30 = 46 \Rightarrow x = 16

16 monete da 2 € e $14$ da 1 €. Controllo: $32 + 14 = 46$ .

Problema 6: due problemi senza soluzione

In una classe di 25 studenti i maschi sono 4 più delle femmine. Quante sono le femmine?

$x$ = femmine, intero positivo. Equazione: $x + (x + 4) = 25$ , cioè $2 x = 21$ e $x = 10, 5$ . La soluzione non è intera, quindi non è accettabile: il problema è impossibile (i dati non possono essere veri insieme).

Trova un numero il cui doppio, aumentato di 5, sia uguale al doppio del suo successivo.

$2 x + 5 = 2 (x + 1)$ , cioè $2 x + 5 = 2 x + 2$ , quindi $0 x = - 3$ : l'equazione è impossibile e un numero così non esiste. Anche questa è una risposta, e va scritta.

Gli errori da verifica

Problemi da fare, con le soluzioni

Livello base

1. Un numero aumentato del suo triplo dà 52. Qual è il numero?

Mostra la soluzione

$x + 3 x = 52$ , quindi $4 x = 52$ e $x = 13$ . Controllo: $13 + 39 = 52$ .

2. La somma di due numeri pari consecutivi è 86. Quali sono?

Mostra la soluzione

$x$ = il primo (pari), il secondo è $x + 2$ . $x + x + 2 = 86$ , quindi $2 x = 84$ e $x = 42$ . I numeri sono 42 e 44.

3. Marco ha il doppio dei soldi di Luca; insieme hanno 63 €. Quanto ha ciascuno?

Mostra la soluzione

Conviene chiamare $x$ i soldi di Luca, così Marco ha $2 x$ . $x + 2 x = 63$ , quindi $3 x = 63$ e $x = 21$ . Luca ha 21 €, Marco 42 €.

Livello medio

4. Una madre ha 38 anni e la figlia 8. Tra quanti anni la madre avrà il triplo dell'età della figlia?

Mostra la soluzione

$38 + x = 3 (8 + x)$ , cioè $38 + x = 24 + 3 x$ , quindi $14 = 2 x$ e $x = 7$ . Tra 7 anni: madre $45$ , figlia $15$ , e $45 = 3 \cdot 15$ .

5. Un triangolo isoscele ha il perimetro di 50 cm. La base supera di 5 cm ciascuno dei lati obliqui. Trova i lati.

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$x$ = lato obliquo, base $x + 5$ , con $x > 0$ . $x + x + (x + 5) = 50$ , quindi $3 x = 45$ e $x = 15$ . Lati obliqui 15 cm, base 20 cm. Controllo: $15 + 15 + 20 = 50$ .

6. Dopo un aumento del 15% una felpa costa 46 €. Quanto costava prima?

Mostra la soluzione

Con l'aumento si paga il 115%: $1, 15 x = 46$ , quindi $x = 40$ . Costava 40 €. Controllo: il 15% di 40 è 6, e $40 + 6 = 46$ .

Livello verifica

7. In un rettangolo la base è il triplo dell'altezza. Se si diminuisce la base di 4 cm e si aumenta l'altezza di 4 cm si ottiene un quadrato. Trova il perimetro del rettangolo.

Mostra la soluzione

$x$ = altezza, base $3 x$ , con $x > 0$ e $3 x > 4$ . Il quadrato ha i lati uguali: $3 x - 4 = x + 4$ , quindi $2 x = 8$ e $x = 4$ . Altezza 4 cm, base 12 cm, perimetro $2 \cdot (12 + 4) = 32$ cm. Il quadrato ha lato $8$ cm.

8. Ho speso un terzo dei miei soldi per un libro e un quarto per una pizza. Mi restano 15 €. Quanto avevo?

Mostra la soluzione

$x - \frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 15$ . Con il m.c.m. $12$ : $12 x - 4 x - 3 x = 180$ , quindi $5 x = 180$ e $x = 36$ . Avevo 36 €. Controllo: libro $12$ €, pizza $9$ €, restano $36 - 21 = 15$ €.

Per allenarti ancora

Quando nel problema le incognite sono due e non riesci a scrivere tutto con una sola $x$ , la strada è un sistema di equazioni: il problema delle monete, per esempio, si può impostare anche così. Se nel testo compaiono lettere al posto dei numeri ti servono le equazioni letterali, e per i problemi su sconti e aumenti ripassa la percentuale. Per scaldarti sulle equazioni prima della verifica c'è Allenati online.

Domande frequenti

Come si imposta un problema con le equazioni?

Leggi il testo, scegli come incognita x la grandezza richiesta (o quella da cui dipendono le altre), scrivi le altre grandezze usando x, poi trasforma la frase che contiene un'uguaglianza in un'equazione. Risolvi e controlla il risultato sul testo.

Che cosa sono le condizioni di accettabilità?

Sono i limiti che il testo impone alla soluzione: un numero di persone deve essere intero e positivo, una lunghezza deve essere positiva, un'età non può essere negativa. Se la soluzione non le rispetta, il problema non ha soluzione.

Quale grandezza conviene chiamare x?

Di solito quella che ti chiede la domanda. Se però le altre grandezze dipendono da una diversa (per esempio «il doppio di Luca»), conviene chiamare x quella di riferimento, così eviti le frazioni.

Come si risolvono i problemi sulle età?

Chiama x gli anni che passano (o che sono passati) e aggiungi o togli x all'età di tutte le persone, non solo di una. Poi traduci la frase sul rapporto tra le età, per esempio «avrà il triplo», e controlla che le età trovate non siano negative.

Cosa faccio se trovo una soluzione con la virgola?

Ricontrolla i calcoli, poi guarda il testo: se la grandezza può essere decimale (un prezzo, una lunghezza) va bene; se deve essere intera (persone, monete, oggetti) la soluzione non è accettabile e il problema è impossibile.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

Problemi con le equazioni: il metodo in 5 passi, con problemi svolti e da fare

Il metodo in 5 passi

Perché le condizioni di accettabilità contano

Tradurre il testo in matematica

Problemi svolti

Problema 1: tre numeri consecutivi

Problema 2: le età

Problema 3: un rettangolo

Problema 4: uno sconto

Problema 5: le monete

Problema 6: due problemi senza soluzione

Gli errori da verifica

Problemi da fare, con le soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Per allenarti ancora

Domande frequenti

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