Sistemi di equazioni lineari: i 4 metodi spiegati semplici, con esercizi svolti

I sistemi di equazioni lineari sono due (o più) equazioni da risolvere insieme: si cerca la coppia di numeri $(x;y)$ che le rende vere tutte e due. Si studiano di solito in seconda superiore e si risolvono con quattro metodi. Qui li vedi tutti e quattro sullo stesso esempio, così puoi confrontarli e scegliere il tuo; poi i sistemi impossibili e indeterminati, il significato grafico, gli errori da verifica e 9 esercizi con soluzione.

Che cos'è un sistema di equazioni

Un'equazione come $x+y=10$ da sola ha infinite soluzioni: $(7;3)$, $(5;5)$, $(12;-2)$ e così via. Se però aggiungi una seconda condizione, per esempio $x-y=4$, le coppie che vanno bene per entrambe si riducono a una sola: $(7;3)$. Le due equazioni insieme formano un sistema, che si scrive con la graffa:

Si dice lineare (o di primo grado) perché $x$ e $y$ compaiono solo con esponente $1$ e mai moltiplicate tra loro. La forma normale di ogni equazione è $ax+by=c$: lettere a sinistra, numero a destra. Prima di scegliere un metodo, porta sempre le due equazioni in questa forma.

I 4 metodi sullo stesso esempio

Risolviamo lo stesso sistema in quattro modi:

Metodo di sostituzione

L'idea: ricavi un'incognita da un'equazione e la sostituisci nell'altra, così ti resta un'equazione con una sola incognita, che sai già risolvere.

Dalla seconda equazione ricavo $x$ (ha coefficiente $1$, comodo): $x=3y-7$. Sostituisco nella prima:

Torno a $x=3y-7$: $x=9-7=2$. Soluzione: $(2;3)$.

Metodo del confronto

L'idea: ricavi la stessa incognita da entrambe le equazioni e metti uguali le due espressioni (se $y$ è uguale a tutte e due, sono uguali tra loro).

Dalla prima: $y=7-2x$. Dalla seconda: $3y=x+7$, cioè $y=\frac{x+7}{3}$. Confronto:

Poi $y=7-2\cdot 2=3$. Stessa soluzione.

Metodo di riduzione

L'idea: sommi (o sottrai) le due equazioni membro a membro in modo che un'incognita si cancelli. Funziona perché sommi cose uguali a cose uguali.

Voglio far sparire la $y$: nella prima c'è $+y$, nella seconda $-3y$. Moltiplico la prima per $3$: $6x+3y=21$. Ora sommo con la seconda:

Sostituisco in una qualsiasi: $2\cdot 2+y=7$, quindi $y=3$.

Metodo di Cramer

L'idea: una formula diretta che usa i determinanti. Il determinante di una tabella $2\times 2$ si calcola così: prodotto della diagonale principale meno prodotto dell'altra diagonale.

Per il sistema $ax+by=c$, $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ si calcolano tre determinanti: $D$ con i coefficienti, $D_x$ mettendo i termini noti al posto della colonna della $x$, $D_y$ mettendoli al posto della colonna della $y$.

Allora $x=\frac{D_x}{D}=\frac{-14}{-7}=2$ e $y=\frac{D_y}{D}=\frac{-21}{-7}=3$.

Determinato, impossibile, indeterminato

Non sempre il sistema ha una sola soluzione.

Impossibile. Prendi:

Dalla prima $x=3-2y$; sostituendo nella seconda: $6-4y+4y=5$, cioè $6=5$. Falso: nessuna soluzione. Il motivo: a sinistra la seconda equazione è il doppio della prima, ma a destra $5$ non è il doppio di $3$. Le due richieste si contraddicono.

Indeterminato. Prendi:

La seconda è esattamente il triplo della prima: è la stessa condizione scritta due volte. Le soluzioni sono infinite: tutte le coppie con $x=y+2$, come $(2;0)$, $(5;3)$, $(0;-2)$.

Il significato grafico

Ogni equazione $ax+by=c$ nel piano cartesiano è una retta: i suoi punti sono le coppie che la soddisfano. Risolvere il sistema vuol dire trovare i punti che stanno su entrambe le rette.

• Rette che si incrociano in un punto: sistema determinato (nell'esempio dei 4 metodi le rette $y=7-2x$ e $y=\frac{x+7}{3}$ si incrociano in $(2;3)$).
• Rette parallele distinte: non si incontrano mai, sistema impossibile.
• Rette coincidenti: hanno tutti i punti in comune, sistema indeterminato.

Le basi che ti servono per i sistemi (risolvere un'equazione di primo grado, gestire segni e denominatori) si costruiscono in prima superiore. Se sono quelle a traballare, conviene ripassarle prima.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x-y=4\end{array}$

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Riduzione: sommando, $2x=14$, quindi $x=7$. Poi $7+y=10$, $y=3$. Soluzione $(7;3)$.

2. $\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ x+2y=4\end{array}$

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Sostituzione: dalla prima $y=3x-5$. Nella seconda: $x+2(3x-5)=4$, cioè $7x-10=4$, $x=2$. Poi $y=6-5=1$. Soluzione $(2;1)$.

3. $\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$

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Riduzione: i coefficienti di $y$ sono opposti, sommo: $6x=18$, $x=3$. Poi $6+3y=12$, $y=2$. Soluzione $(3;2)$.

Livello medio

4. $\{\begin{array}{l}5x-2y=1\\ 3x+4y=37\end{array}$ (con Cramer)

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• $D=5\cdot 4-(-2)\cdot 3=20+6=26$
• $D_x=1\cdot 4-(-2)\cdot 37=4+74=78$, quindi $x=\frac{78}{26}=3$
• $D_y=5\cdot 37-1\cdot 3=185-3=182$, quindi $y=\frac{182}{26}=7$

Soluzione $(3;7)$. Verifica: $15-14=1$ e $9+28=37$.

5. $\{\begin{array}{l}2x-4y=6\\ x-2y=3\end{array}$

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La prima è il doppio della seconda, termine noto compreso: $\frac{2}{1}=\frac{-4}{-2}=\frac{6}{3}$. Il sistema è indeterminato: infinite soluzioni, tutte le coppie con $x=2y+3$.

6. $\{\begin{array}{l}3x+6y=2\\ x+2y=1\end{array}$

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$\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=3$, ma $\frac{2}{1}=2\ne 3$. Il sistema è impossibile. Controllo: moltiplicando la seconda per $3$ viene $3x+6y=3$, che contraddice $3x+6y=2$.

Livello verifica

7. $\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{2}-\frac{y}{3}=1\\ x+2y=9\end{array}$

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Prima porto la prima in forma normale moltiplicando per $6$: $3(x+1)-2y=6$, cioè $3x-2y=3$. Dalla seconda $x=9-2y$. Sostituisco:

• $3(9-2y)-2y=3$
• $27-8y=3$, quindi $y=3$
• $x=9-6=3$

Soluzione $(3;3)$.

8. In un cortile ci sono galline e conigli: in tutto 20 teste e 56 zampe. Quanti sono gli uni e gli altri?

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$g$ = galline, $c$ = conigli (interi, non negativi). $\{\begin{array}{l}g+c=20\\ 2g+4c=56\end{array}$

Dalla prima $g=20-c$; nella seconda $40-2c+4c=56$, quindi $2c=16$ e $c=8$, $g=12$. 12 galline e 8 conigli. Controllo: $24+32=56$ zampe.

9. Due quaderni e tre penne costano 9,50 €; un quaderno e due penne costano 5,50 €. Quanto costa un quaderno? E una penna?

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$q$ = prezzo del quaderno, $p$ = prezzo della penna. $\{\begin{array}{l}2q+3p=9,5\\ q+2p=5,5\end{array}$

Dalla seconda $q=5,5-2p$; nella prima $11-4p+3p=9,5$, quindi $p=1,5$ e $q=2,5$. Quaderno 2,50 €, penna 1,50 €.

Per andare avanti

Molti problemi con le equazioni diventano più semplici impostati come sistema: quando nel testo ci sono due grandezze sconosciute, chiamale $x$ e $y$ e scrivi due equazioni. Se ti blocchi sul singolo passaggio, il problema è nelle equazioni di primo grado; se ti serve disegnare le rette, ripassa il piano cartesiano. E non confondere questi sistemi con quelli delle disequazioni di primo grado, dove la soluzione è un intervallo e si prende l'intersezione.