Piano cartesiano: coordinate, quadranti, distanza tra due punti e punto medio, con esercizi

Il piano cartesiano è lo strumento che trasforma la geometria in numeri: ogni punto diventa una coppia di coordinate, e con due formule calcoli lunghezze e punti medi senza righello. Qui trovi come si costruisce, come si leggono le coordinate, i quadranti, la distanza tra due punti, il punto medio, come si disegna un grafico partendo da una tabella, la proporzionalità diretta e inversa, gli errori da verifica ed esercizi svolti.

Che cos'è il piano cartesiano

Prendi due rette perpendicolari, una orizzontale e una verticale, e fissa su ciascuna un verso e un'unità di misura (di solito un quadretto).

• La retta orizzontale è l'asse delle ascisse, o asse $x$.
• La retta verticale è l'asse delle ordinate, o asse $y$.
• Il punto dove si incontrano è l'origine $O$, di coordinate $(0;0)$.

Ogni punto $P$ del piano corrisponde a una coppia ordinata di numeri $(x;y)$:

• $x$ è l'ascissa: quanto ti sposti in orizzontale partendo da $O$ (positivo a destra, negativo a sinistra);
• $y$ è l'ordinata: quanto ti sposti in verticale (positivo in su, negativo in giù).

Per segnare $P(3;-2)$ parti dall'origine, vai di 3 quadretti a destra e di 2 in giù. L'ordine conta: $(3;-2)$ e $(-2;3)$ sono due punti diversi. È lo stesso motivo per cui nel prodotto cartesiano degli insiemi le coppie sono ordinate: il piano cartesiano è proprio $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

I quattro quadranti

Gli assi dividono il piano in quattro zone, numerate in senso antiorario partendo da in alto a destra.

I punti che stanno sugli assi non appartengono a nessun quadrante. Sull'asse $x$ hanno ordinata zero, come $(5;0)$; sull'asse $y$ hanno ascissa zero, come $(0;-4)$.

Rette parallele agli assi e punti simmetrici

Tutti i punti con la stessa ascissa stanno su una retta verticale: per esempio i punti con $x=3$, come $(3;0)$, $(3;5)$, $(3;-2)$, formano la retta di equazione $x=3$. Allo stesso modo i punti con ordinata $-1$ formano la retta orizzontale $y=-1$. L'asse $x$ stesso ha equazione $y=0$ e l'asse $y$ ha equazione $x=0$.

Due rette oblique da conoscere sono le bisettrici dei quadranti: $y=x$ (i punti con le due coordinate uguali, come $(2;2)$ e $(-4;-4)$) e $y=-x$ (coordinate opposte, come $(3;-3)$).

Per trovare i simmetrici di un punto basta cambiare segno a una o a entrambe le coordinate. Partendo da $P(3;-2)$:

Se ti confondi, fai il disegno: il simmetrico rispetto all'asse $x$ è il "riflesso" del punto nello specchio orizzontale, quindi resta alla stessa distanza dall'asse ma dall'altra parte.

La distanza tra due punti

Punti sulla stessa orizzontale o verticale

Se due punti hanno la stessa ordinata, il segmento è orizzontale e la distanza è la differenza delle ascisse, presa positiva. Tra $A(-4;2)$ e $B(5;2)$: $\overline{AB}=|5-(-4)|=9$.

Se hanno la stessa ascissa, il segmento è verticale. Tra $A(3;-1)$ e $B(3;5)$: $\overline{AB}=|5-(-1)|=6$.

Il caso generale

Se il segmento è obliquo, disegna il triangolo rettangolo che ha il segmento come ipotenusa e i cateti paralleli agli assi. I cateti misurano $|x_B-x_A|$ e $|y_B-y_A|$, e il teorema di Pitagora fa il resto.

Esempio con $A(1;2)$ e $B(4;6)$:

Non importa quale punto chiami $A$ e quale $B$: le differenze cambiano segno, ma al quadrato diventano uguali.

Il punto medio

Il punto medio sta esattamente a metà del segmento, quindi a metà strada sia in orizzontale sia in verticale. Per questo basta fare la media.

Con $A(1;2)$ e $B(4;6)$:

Le coordinate possono venire con la virgola: $\frac{5}{2}=2,5$ va benissimo.

Esempi svolti

Esempio 1. Calcola distanza e punto medio tra $A(-2;3)$ e $B(4;-5)$.

• Differenze: $x_B-x_A=4-(-2)=6$ e $y_B-y_A=-5-3=-8$.
• Distanza: $\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
• Punto medio: $M\left(\frac{-2+4}{2};\frac{3+(-5)}{2}\right)=M(1;-1)$.

Esempio 2. Il triangolo di vertici $O(0;0)$, $A(6;0)$ e $B(6;8)$: trova perimetro e area.

• $\overline{OA}=6$ (orizzontale), $\overline{AB}=8$ (verticale).
• $\overline{OB}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
• Perimetro: $6+8+10=24$.
• Il triangolo è rettangolo in $A$, quindi l'area è $\frac{6\cdot 8}{2}=24$.

Esempio 3 (al contrario). $M(2;1)$ è il punto medio di $AB$ e $A(-1;4)$. Trova $B$.

Da $\frac{-1+x_B}{2}=2$ ricavi $x_B=4+1=5$. Da $\frac{4+y_B}{2}=1$ ricavi $y_B=2-4=-2$. Quindi $B(5;-2)$. Il trucco: $x_B=2x_M-x_A$ e $y_B=2y_M-y_A$.

Esempio 4 (triangolo isoscele). Dimostra che il triangolo di vertici $A(-2;-1)$, $B(4;-1)$ e $C(1;5)$ è isoscele e calcolane l'area.

• $\overline{AB}=|4-(-2)|=6$, perché $A$ e $B$ hanno la stessa ordinata.
• $\overline{AC}=\sqrt{(1+2{)}^2+(5+1{)}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
• $\overline{BC}=\sqrt{(1-4{)}^2+(5+1{)}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

Due lati uguali: è isoscele sulla base $AB$. Per l'area, la base è $AB=6$ e l'altezza è la distanza di $C$ dalla retta $y=-1$, cioè $5-(-1)=6$. Area: $\frac{6\cdot 6}{2}=18$. Il perimetro è $6+6\sqrt{5}$.

Dalla tabella al grafico

Una relazione tra $x$ e $y$ scritta come formula si disegna così: scegli alcuni valori di $x$, calcoli $y$, segni i punti e li unisci.

Per $y=2x-1$:

I punti $(-1;-3)$, $(0;-1)$, $(1;1)$, $(2;3)$, $(3;5)$ sono allineati: il grafico è una retta. Per sapere se un punto sta sul grafico, sostituisci le sue coordinate. $P(3;5)$ ci sta, perché $2\cdot 3-1=5$. $Q(-2;-4)$ no, perché $2\cdot (-2)-1=-5$, non $-4$.

Questo è anche il modo di vedere una funzione: ogni $x$ ha la sua $y$. Su cosa renda una funzione iniettiva o suriettiva guardando il grafico, trovi tutto in funzioni iniettive, suriettive e biiettive.

Proporzionalità diretta e inversa

Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: $\frac{y}{x}=k$, cioè $y=kx$. Se $x$ raddoppia, anche $y$ raddoppia. Il grafico è una retta che passa per l'origine.

Esempio: un quaderno costa 3 euro, quindi $y=3x$. Con 1, 2, 4 quaderni spendi 3, 6, 12 euro.

Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: $x\cdot y=k$, cioè $y=\frac{k}{x}$. Se $x$ raddoppia, $y$ si dimezza. Il grafico è un ramo di iperbole, che si avvicina agli assi senza toccarli.

Esempio: 12 pizze da dividere in parti uguali, $y=\frac{12}{x}$.

Il prodotto $x\cdot y$ fa sempre 12. Se ti servono le proporzioni per risolvere questi problemi, c'è l'articolo sulle proporzioni.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. In quale quadrante si trovano $A(-3;2)$, $B(2;-3)$, $C(-1;-5)$? E $D(0;4)$?

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$A$ nel secondo, $B$ nel quarto, $C$ nel terzo. $D$ ha ascissa zero: sta sull'asse $y$ e non appartiene a nessun quadrante.

2. Calcola la distanza tra $A(-4;2)$ e $B(5;2)$.

Mostra la soluzione

Stessa ordinata, segmento orizzontale: $\overline{AB}=|5-(-4)|=9$.

3. Trova il punto medio tra $A(0;0)$ e $B(6;8)$, e la distanza.

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• $M\left(\frac{0+6}{2};\frac{0+8}{2}\right)=M(3;4)$.
• $\overline{AB}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Livello medio

4. Calcola distanza e punto medio tra $A(-1;-3)$ e $B(5;5)$.

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• Differenze: $5-(-1)=6$ e $5-(-3)=8$.
• $\overline{AB}=\sqrt{36+64}=10$.
• $M\left(\frac{-1+5}{2};\frac{-3+5}{2}\right)=M(2;1)$.

5. Calcola distanza e punto medio tra $A(-3;1)$ e $B(1;4)$.

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• Differenze: $1-(-3)=4$ e $4-1=3$.
• $\overline{AB}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.
• $M\left(\frac{-3+1}{2};\frac{1+4}{2}\right)=M\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

6. Il punto $P(3;5)$ appartiene al grafico di $y=2x-1$? E $Q(-2;-4)$?

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• $P$: $2\cdot 3-1=5$, uguale all'ordinata. Sì, appartiene.
• $Q$: $2\cdot (-2)-1=-5\ne -4$. No.

Livello verifica

7. Il rettangolo $ABCD$ ha vertici $A(-2;-1)$, $B(4;-1)$, $C(4;3)$, $D(-2;3)$. Trova perimetro, area e lunghezza della diagonale $AC$.

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• $\overline{AB}=|4-(-2)|=6$, $\overline{BC}=|3-(-1)|=4$.
• Perimetro: $2\cdot (6+4)=20$.
• Area: $6\cdot 4=24$.
• Diagonale: $\overline{AC}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

8. $M(-1;1)$ è il punto medio del segmento $AB$, con $A(2;-3)$. Trova $B$ e verifica calcolando le due metà.

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• $x_B=2\cdot (-1)-2=-4$ e $y_B=2\cdot 1-(-3)=5$, quindi $B(-4;5)$.
• $\overline{AM}=\sqrt{(-1-2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.
• $\overline{MB}=\sqrt{(-4+1{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Le due metà sono uguali, e $\overline{AB}=10$.

Dopo il piano cartesiano

Il piano cartesiano torna per tutto il resto delle superiori. In prima serve per disegnare le funzioni e la proporzionalità; in seconda superiore diventa la base della retta e dei sistemi di equazioni, dove la soluzione è il punto in cui due rette si incontrano. Per la distanza è indispensabile avere sicuro il teorema di Pitagora, e per non sbagliare i segni nelle differenze vale la pena ripassare i numeri relativi. Tutto il programma dell'anno, capitolo per capitolo, è nella guida alla matematica della prima superiore.