Insiemi: unione, intersezione, differenza e complementare, con esercizi svolti

Gli insiemi sono il primo argomento "nuovo" della prima superiore, e spesso il primo voto dell'anno. La buona notizia: non servono calcoli difficili, servono definizioni precise e un po' di ordine. Qui trovi come si scrive un insieme, cosa sono i sottoinsiemi, le operazioni (unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano), i diagrammi di Venn spiegati a parole, gli errori da verifica ed esercizi con le soluzioni.

Che cos'è un insieme

Un insieme è una raccolta di oggetti, detti elementi, scelti con un criterio preciso: per qualunque oggetto devi poter dire sì, ci sta oppure no, non ci sta, senza discutere.

• «I numeri naturali minori di 5» è un insieme: 3 ci sta, 7 no.
• «Le canzoni più belle dell'anno» non è un insieme in senso matematico: ognuno risponde a modo suo.

Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole ($A$, $B$, $C$), gli elementi con lettere minuscole o numeri. Per dire che un elemento sta in un insieme si usa il simbolo di appartenenza: $3\in A$ si legge «3 appartiene ad A», mentre $7\notin A$ si legge «7 non appartiene ad A».

Un insieme senza elementi si chiama insieme vuoto e si scrive $\varnothing$. Esempio: l'insieme dei numeri naturali che sono sia pari sia dispari.

I tre modi per rappresentare un insieme

Prendi l'insieme dei numeri naturali minori di 5. Puoi scriverlo in tre modi:

Attenzione: nella scuola italiana $\mathbb{N}$ comprende lo zero, quindi lo 0 va nell'elenco. Nell'elencazione ogni elemento si scrive una volta sola e l'ordine non conta: $\{1,2,3\}$ e $\{3,1,2\}$ sono lo stesso insieme.

Sottoinsiemi e insieme delle parti

$B$ è un sottoinsieme di $A$ se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$. Si scrive $B\subseteq A$.

Esempio: le lettere della parola «tema» formano l'insieme $\{t,e,m,a\}$, quelle di «matematica» formano $\{m,a,t,e,i,c\}$. Ogni lettera di «tema» compare in «matematica», quindi il primo è sottoinsieme del secondo.

Se $B\subseteq A$ e in $A$ c'è almeno un elemento che in $B$ manca, $B$ è un sottoinsieme proprio e si scrive $B\subset A$. L'insieme vuoto e $A$ stesso si chiamano sottoinsiemi impropri.

L'insieme delle parti di $A$, scritto $\mathcal{P}(A)$, è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $A$. Per $A=\{a,b,c\}$:

Sono 8, cioè $2^3$. In generale un insieme con $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi: ogni elemento può esserci o non esserci.

Le operazioni tra insiemi

Per tutta la sezione usiamo lo stesso esempio, così vedi le differenze tra un'operazione e l'altra:

$U$ è l'insieme universo, cioè tutti gli elementi di cui stiamo parlando.

Con i nostri insiemi:

Il diagramma di Venn, descritto a parole

Disegna un rettangolo: è $U$. Dentro disegna due cerchi che si sovrappongono in parte, $A$ a sinistra e $B$ a destra. Si formano quattro zone:

1. La zona centrale, dove i cerchi si sovrappongono: qui vanno 2, 4, 6. È $A\cap B$.
2. La parte di $A$ fuori da $B$ (falce di sinistra): 1, 3, 5. È $A-B$.
3. La parte di $B$ fuori da $A$ (falce di destra): 8. È $B-A$.
4. Fuori dai due cerchi, ma dentro il rettangolo: 7, 9, 10. È il complementare di $A\cup B$.

Ogni operazione corrisponde a una o più zone da colorare. L'unione colora le zone 1, 2 e 3; l'intersezione solo la 1. Quando hai un dubbio, disegna il diagramma: è la verifica più veloce che esista.

Il prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano $A\times B$ è l'insieme di tutte le coppie ordinate $(a;b)$ con il primo elemento preso da $A$ e il secondo da $B$. Con $A=\{1,2\}$ e $B=\{x,y,z\}$:

Sono $2\cdot 3=6$ coppie. In generale il numero di coppie è il prodotto del numero di elementi. L'ordine conta: $(1;x)$ è diverso da $(x;1)$, quindi $A\times B$ e $B\times A$ in generale sono diversi. È proprio da qui che nasce il piano cartesiano: ogni punto è una coppia ordinata di numeri.

Per un tabellone come quello sopra, conviene una tabella a doppia entrata: le righe sono gli elementi di $A$, le colonne quelli di $B$, ogni casella è una coppia.

La partizione

Una partizione di un insieme è un modo di dividerlo in "pezzi" non vuoti, che non si sovrappongono e che messi insieme ridanno tutto l'insieme. I pari $\{2,4,6,8,10\}$ e i dispari $\{1,3,5,7,9\}$ formano una partizione di $U$: nessun numero sta in entrambi, nessun numero resta fuori.

Esempi svolti

Esempio 1 (divisori). $A$ = divisori di 12, $B$ = divisori di 18. Trova $A\cap B$, $A\cup B$, $A-B$.

Prima elenca: $A=\{1,2,3,4,6,12\}$ e $B=\{1,2,3,6,9,18\}$.

• $A\cap B=\{1,2,3,6\}$: sono i divisori comuni. Il più grande è 6, che infatti è il M.C.D. tra 12 e 18 (lo ritrovi in M.C.D. e m.c.m.).
• $A\cup B=\{1,2,3,4,6,9,12,18\}$.
• $A-B=\{4,12\}$.

Esempio 2 (dalla proprietà all'elenco). $A=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<7\}$ e $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ eˋ pari e }x<10\}$.

Elenca: $A=\{2,3,4,5,6\}$ (il 7 è escluso dal segno $<$) e $B=\{0,2,4,6,8\}$ (lo 0 è pari!). Allora $A\cap B=\{2,4,6\}$, $A-B=\{3,5\}$, $B-A=\{0,8\}$.

Esempio 3 (problema con Venn). In una classe di 25 studenti, 15 giocano a calcio, 10 a pallavolo e 4 fanno entrambi gli sport. Quanti non fanno nessuno dei due?

Si parte sempre dalla zona centrale: 4.

• Solo calcio: $15-4=11$.
• Solo pallavolo: $10-4=6$.
• Almeno uno sport: $11+4+6=21$.
• Nessuno: $25-21=4$.

La formula dietro è $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$: si toglie l'intersezione perché altrimenti quei 4 studenti verrebbero contati due volte.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Scrivi per elencazione $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x<5\}$.

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$A=\{0,1,2,3,4\}$. Lo 0 è un numero naturale e il 5 è escluso perché la disuguaglianza è stretta.

2. Quanti elementi ha l'insieme delle parti di $\{a,b,c\}$? Elencali.

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$2^3=8$ sottoinsiemi: $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$, $\{a,b,c\}$.

3. Le lettere di «tema» sono un sottoinsieme delle lettere di «matematica»? Spiega.

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Sì. Lettere di «tema»: $\{t,e,m,a\}$. Lettere di «matematica»: $\{m,a,t,e,i,c\}$. Ogni lettera del primo insieme sta nel secondo, quindi il primo è sottoinsieme (proprio, perché $i$ e $c$ mancano).

Livello medio

4. Considera i numeri da 1 a 20. $A$ = multipli di 2, $B$ = multipli di 3. Trova $A\cap B$ e $B-A$, e conta gli elementi di $A\cup B$.

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• $A\cap B=\{6,12,18\}$: sono i multipli di 6.
• $B-A=\{3,9,15\}$: multipli di 3 dispari.
• $A$ ha 10 elementi, $B$ ne ha 6, in comune 3: $n(A\cup B)=10+6-3=13$.

5. Con $U=\{1,2,\dots ,10\}$, $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{2,4,6,8\}$, calcola il complementare di $A\cup B$ e poi $\overline{A}\cap \overline{B}$. Cosa noti?

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• $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\}$, quindi il suo complementare è $\{7,9,10\}$.
• $\overline{A}=\{7,8,9,10\}$ e $\overline{B}=\{1,3,5,7,9,10\}$, quindi $\overline{A}\cap \overline{B}=\{7,9,10\}$.

Sono uguali: è una delle leggi di De Morgan. Il complementare dell'unione è l'intersezione dei complementari.

6. Dati $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{1,2\}$, quanti elementi ha $A\times B$? Scrivili.

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$3\cdot 2=6$ coppie: $(1;1)$, $(1;2)$, $(2;1)$, $(2;2)$, $(3;1)$, $(3;2)$.

Livello verifica

7. In una classe di 30 studenti, 18 studiano inglese fuori da scuola, 12 spagnolo e 5 nessuna delle due lingue. Quanti studiano entrambe?

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• Chi studia almeno una lingua: $30-5=25$.
• Da $25=18+12-x$ ricavi $x=30-25=5$.

Studiano entrambe le lingue 5 studenti (e infatti: solo inglese 13, solo spagnolo 7, entrambe 5, nessuna 5; totale 30).

8. In un sondaggio tra 40 ragazzi, 22 amano la pizza, 17 il sushi e 8 entrambi. Quanti amano solo la pizza, quanti solo il sushi, quanti nessuno dei due?

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• Solo pizza: $22-8=14$.
• Solo sushi: $17-8=9$.
• Almeno uno: $14+8+9=31$.
• Nessuno: $40-31=9$.

Dopo gli insiemi

Gli insiemi non restano chiusi nel loro capitolo. L'intersezione ha lo stesso significato della congiunzione «e», l'unione della «o»: lo vedi bene nell'articolo sulla logica matematica. Il prodotto cartesiano è la base delle relazioni e delle funzioni iniettive, suriettive e biiettive. E più avanti l'intersezione torna nei sistemi di disequazioni di primo grado, dove le soluzioni comuni sono proprio l'intersezione degli intervalli. Se vuoi vedere dove sta questo argomento nel resto dell'anno, c'è la guida alla matematica della prima superiore.