Matematica · Relazioni e funzioni

Funzioni iniettive, suriettive e biiettive: come si riconoscono, con esempi ed esercizi

Funzioni iniettive, suriettive e biiettive spiegate semplici: diagrammi a frecce, formule, test della retta, funzione inversa ed esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 10 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Tre diagrammi a frecce affiancati tra due insiemi: uno iniettivo, uno suriettivo e uno biiettivo, con le frecce colorate

In breve

Una funzione è iniettiva se elementi diversi hanno sempre immagini diverse, suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento, biiettiva se è tutte e due le cose. Nel diagramma a frecce: iniettiva vuol dire che a nessun elemento di arrivo arrivano due frecce, suriettiva che a ogni elemento di arrivo arriva almeno una freccia.

Capire se una funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva è una domanda fissa nelle verifiche di prima superiore, e si risolve guardando le frecce. Qui trovi cos'è una funzione (e quando una relazione non lo è), dominio, codominio e immagine, le tre definizioni con il loro significato pratico, come riconoscerle su un diagramma o su una formula, la funzione inversa, gli errori da verifica ed esercizi con le soluzioni.

Che cos'è una funzione

Una funzione $f$ da un insieme $A$ a un insieme $B$ è una regola che associa a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$ . Si scrive $f : A \to B$ .

$A$ è il dominio (l'insieme di partenza).
$B$ è il codominio (l'insieme di arrivo).
Se $f$ associa a $x$ l'elemento $y$ , si scrive $y = f (x)$ : $y$ è l'immagine di $x$ , e $x$ è una controimmagine di $y$ .
L'insieme di tutte le immagini si chiama insieme immagine e si scrive $f (A)$ . È sempre contenuto nel codominio, ma può essere più piccolo.

Nel diagramma a frecce disegni i due insiemi uno accanto all'altro e colleghi ogni elemento di $A$ alla sua immagine in $B$ . Una relazione è una funzione se da ogni elemento di $A$ parte esattamente una freccia.

Situazione nel diagramma	È una funzione?
Da ogni elemento di $A$ parte una sola freccia	sì
Un elemento di $A$ non ha frecce	no
Da un elemento di $A$ partono due frecce	no
A un elemento di $B$ arrivano due frecce	sì, va bene (ma non sarà iniettiva)
A un elemento di $B$ non arriva nessuna freccia	sì, va bene (ma non sarà suriettiva)

Le ultime due righe sono il punto chiave: le regole per essere una funzione riguardano la partenza, le proprietà iniettiva e suriettiva riguardano l'arrivo.

Le tre definizioni

Un modo per ricordarle: immagina una sala con dei posti (il codominio) e delle persone (il dominio), e ognuno deve sedersi.

Iniettiva: nessun posto è condiviso da due persone.
Suriettiva: nessun posto resta vuoto.
Biiettiva: una persona per posto, nessun posto vuoto.

Quattro diagrammi a confronto, descritti a parole

Dominio → codominio	Frecce	Iniettiva	Suriettiva	Tipo
${1, 2, 3} \to {a, b, c, d}$	$1 \to a$ , $2 \to c$ , $3 \to d$	sì	no ( $b$ resta senza freccia)	solo iniettiva
${1, 2, 3, 4} \to {x, y, z}$	$1 \to x$ , $2 \to y$ , $3 \to z$ , $4 \to y$	no ( $y$ riceve due frecce)	sì	solo suriettiva
${1, 2, 3} \to {a, b, c}$	$1 \to b$ , $2 \to c$ , $3 \to a$	sì	sì	biiettiva
${1, 2, 3} \to {a, b, c}$	$1 \to a$ , $2 \to a$ , $3 \to b$	no	no ( $c$ resta vuoto)	né l'una né l'altra

Guarda i numeri di elementi: se $A$ ha più elementi di $B$ (come 4 contro 3), la funzione non può essere iniettiva, perché almeno due frecce finiscono nello stesso posto. Se $A$ ha meno elementi di $B$ , non può essere suriettiva. Una biiezione tra insiemi finiti c'è solo se hanno lo stesso numero di elementi.

Funzioni con la formula

Quando la funzione è data da una formula, conta moltissimo tra quali insiemi la consideri. La stessa formula può cambiare tipo se cambi dominio o codominio.

f(x) = 2x + 1, da R a R

Iniettiva: se $2 x_{1} + 1 = 2 x_{2} + 1$ , togliendo 1 e dividendo per 2 ottieni $x_{1} = x_{2}$ . Quindi immagini uguali vengono solo da elementi uguali.
Suriettiva: preso un qualunque $y$ , cerchi $x$ con $2 x + 1 = y$ . Risolvendo, $x = \frac{y - 1}{2}$ , che è sempre un numero reale. Ogni $y$ viene raggiunto.

È biiettiva.

f(x) = x², da R a R

Non iniettiva: $f (2) = 4$ e $f (- 2) = 4$ . Due elementi diversi, stessa immagine.
Non suriettiva: un numero negativo, per esempio $- 1$ , non è il quadrato di nessun numero reale.

Ma se consideri $f (x) = x^{2}$ con dominio e codominio uguali ai numeri reali maggiori o uguali a zero, il problema sparisce: ogni numero non negativo ha una sola radice non negativa. Diventa biiettiva.

f(n) = n + 1, da N a N

Iniettiva: numeri diversi, successivi diversi.
Non suriettiva: lo 0 non è il successivo di nessun numero naturale.

Il test della retta orizzontale

Se hai il grafico della funzione nel piano cartesiano, traccia tante rette orizzontali (parallele all'asse $x$ ) all'altezza dei valori del codominio:

se ogni retta taglia il grafico al massimo una volta, la funzione è iniettiva;
se ogni retta lo taglia almeno una volta, è suriettiva;
se lo taglia esattamente una volta, è biiettiva.

La parabola di $y = x^{2}$ viene tagliata due volte dalla retta $y = 4$ (nei punti con $x = 2$ e $x = - 2$ ) e mai dalla retta $y = - 1$ : non iniettiva e non suriettiva, come avevamo visto.

La funzione inversa

Se $f : A \to B$ è biiettiva, puoi percorrere le frecce al contrario: ottieni la funzione inversa $f^{- 1} : B \to A$ , che a ogni $y$ associa l'unico $x$ con $f (x) = y$ .

Esempio con $f (x) = 3 x - 2$ da $R$ a $R$ . Scrivi $y = 3 x - 2$ e ricava $x$ :

y = 3 x - 2 \Rightarrow 3 x = y + 2 \Rightarrow x = \frac{y + 2}{3}

Quindi $f^{- 1} (y) = \frac{y + 2}{3}$ . Prova: $f (2) = 4$ , e infatti $f^{- 1} (4) = \frac{4 + 2}{3} = 2$ .

Perché serve la biiettività? Se $f$ non è iniettiva, a un elemento di $B$ arrivano due frecce e tornando indietro non sapresti quale prendere. Se non è suriettiva, da qualche elemento di $B$ non partirebbe nessuna freccia, e l'inversa non sarebbe una funzione.

Come rispondere in verifica

Quando l'esercizio chiede «stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva», segui sempre gli stessi passi. Così non salti niente e il professore vede il ragionamento.

Leggi dominio e codominio. Scrivili accanto all'esercizio: cambiano la risposta.
Controlla che sia una funzione. Ogni elemento del dominio deve avere una e una sola immagine.
Iniettività. Cerca due elementi diversi con la stessa immagine. Se li trovi, scrivili: è la prova che non è iniettiva. Se non li trovi, spiega perché non possono esistere (per esempio ricavando $x_{1} = x_{2}$ da $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ).
Suriettività. Prendi un elemento qualsiasi del codominio e chiediti se viene raggiunto. Con una formula, prova a risolvere $f (x) = y$ : se la soluzione esiste sempre nel dominio, è suriettiva; se trovi un $y$ che resta fuori, scrivilo.
Conclusione. Una frase finale: «è iniettiva ma non suriettiva», oppure «è biiettiva, quindi invertibile».

Una risposta come «non è iniettiva perché $f (1) = f (- 1) = 0$ » vale il punteggio pieno: è breve, ma contiene la prova.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. La relazione da ${1, 2, 3}$ a ${a, b}$ con frecce $1 \to a$ , $2 \to b$ , $2 \to a$ , $3 \to b$ è una funzione?

Mostra la soluzione

No: dall'elemento 2 partono due frecce. In una funzione ogni elemento del dominio ha una sola immagine.

2. $f : {1, 2, 3, 4} \to {x, y, z}$ con $1 \to x$ , $2 \to y$ , $3 \to z$ , $4 \to y$ . È iniettiva? È suriettiva?

Mostra la soluzione

Non iniettiva: a $y$ arrivano due frecce (da 2 e da 4).
Suriettiva: $x$ , $y$ e $z$ ricevono tutti almeno una freccia.

3. $f : {0, 1, 2, 3} \to N$ con $f (x) = 2 x + 1$ . Trova l'insieme immagine. È suriettiva?

Mostra la soluzione

$f (0) = 1$ , $f (1) = 3$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 7$ , quindi $f (A) = {1, 3, 5, 7}$ . Non è suriettiva: per esempio 2 non è raggiunto (l'insieme immagine è molto più piccolo di $N$ ). È invece iniettiva, perché le quattro immagini sono diverse.

Livello medio

4. Stabilisci il tipo di $f : N \to N$ con $f (n) = 2 n$ .

Mostra la soluzione

Iniettiva: se $2 n_{1} = 2 n_{2}$ , allora $n_{1} = n_{2}$ .
Non suriettiva: i numeri dispari, come 3, non sono il doppio di nessun naturale.

È iniettiva ma non suriettiva.

5. $f : Z \to Z$ con $f (x) = x^{2} - 1$ . È iniettiva? È suriettiva?

Mostra la soluzione

Non iniettiva: $f (1) = 0$ e $f (- 1) = 0$ .
Non suriettiva: per esempio 1 non è raggiunto, perché $x^{2} - 1 = 1$ darebbe $x^{2} = 2$ , e nessun intero ha quadrato 2.

6. Quante funzioni ci sono da un insieme di 3 elementi a uno di 2 elementi? Quante sono iniettive?

Mostra la soluzione

Ogni elemento di partenza ha 2 scelte: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ funzioni. Nessuna è iniettiva: con 3 elementi e solo 2 posti, almeno due frecce finiscono nello stesso posto. (Delle 8, ne sono suriettive 6: tutte tranne le due che mandano tutto nello stesso elemento.)

Livello verifica

7. Dimostra che $f : R \to R$ con $f (x) = 5 - x$ è biiettiva e trova l'inversa.

Mostra la soluzione

Iniettiva: da $5 - x_{1} = 5 - x_{2}$ segue $x_{1} = x_{2}$ .
Suriettiva: dato $y$ , da $y = 5 - x$ ricavi $x = 5 - y$ , che è un numero reale.

È biiettiva e $f^{- 1} (y) = 5 - y$ . Curiosità: è uguale a $f$ . Prova: $f (2) = 3$ e $f^{- 1} (3) = 2$ .

8. $f : R \to R$ con $f (x) = 2 x + 1$ . Calcola $f (3)$ , trova la controimmagine di 9 e scrivi l'inversa.

Mostra la soluzione

$f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .
Controimmagine di 9: $2 x + 1 = 9 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ .
Inversa: da $y = 2 x + 1$ ricavi $x = \frac{y - 1}{2}$ , quindi $f^{- 1} (y) = \frac{y - 1}{2}$ . Controllo: $f^{- 1} (9) = \frac{8}{2} = 4$ .

Da dove vengono e dove vanno le funzioni

Le funzioni si costruiscono con gli strumenti degli insiemi: una funzione è un sottoinsieme speciale del prodotto cartesiano $A \times B$ . Le definizioni di iniettiva e suriettiva sono frasi con «per ogni» ed «esiste», quindi aiuta molto avere chiari i quantificatori della logica matematica. E per vedere le funzioni come grafici, il passo successivo è il piano cartesiano, dove trovi anche la proporzionalità diretta e inversa. Per ritrovare l'argomento nel programma dell'anno, c'è la guida alla matematica della prima superiore.

Domande frequenti

Che differenza c'è tra relazione e funzione?

Una funzione è una relazione speciale: a ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio. Se un elemento di partenza non ha frecce, o ne ha due, la relazione non è una funzione.

Come si capisce se una funzione è iniettiva?

Controlli che elementi diversi del dominio abbiano sempre immagini diverse. Se trovi due elementi diversi con la stessa immagine, non è iniettiva. Sul grafico: nessuna retta orizzontale deve tagliarlo in più di un punto.

Come si capisce se una funzione è suriettiva?

Controlli che ogni elemento del codominio sia raggiunto da almeno una freccia, cioè che l'immagine coincida con il codominio. Se resta fuori anche un solo elemento, non è suriettiva.

La funzione x² è iniettiva?

Da R a R no, perché 2 e −2 hanno la stessa immagine, 4. Non è nemmeno suriettiva, perché nessun numero al quadrato dà un risultato negativo. Se però la consideri solo sui numeri maggiori o uguali a zero, sia in partenza sia in arrivo, diventa biiettiva.

Quali funzioni hanno l'inversa?

Solo le funzioni biiettive. L'inversa fa il percorso al contrario: per poterlo fare, ogni elemento di arrivo deve venire da uno e un solo elemento di partenza.

Una funzione può essere né iniettiva né suriettiva?

Sì, capita spesso. Basta che due elementi abbiano la stessa immagine e che almeno un elemento del codominio non venga raggiunto da nessuna freccia.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

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