Logica matematica: proposizioni, connettivi e tavole di verità spiegate semplici

La logica matematica in prima superiore sembra un argomento strano: niente numeri, tante V e tante F. In realtà è il capitolo dove si prendono i punti più facili, a patto di conoscere bene cinque regole, una per connettivo. Qui trovi cos'è una proposizione, la negazione, la congiunzione «e», la disgiunzione «o», l'implicazione e la doppia implicazione, le tavole di verità, i quantificatori, gli errori da verifica ed esercizi svolti.

Che cos'è una proposizione

Una proposizione (o enunciato) è una frase di cui si può dire con certezza se è vera (V) o falsa (F). Non ci sono vie di mezzo.

Le proposizioni si indicano con lettere minuscole: $p$, $q$, $r$. Una proposizione che non si può spezzare in pezzi più piccoli si dice elementare; quando colleghi più proposizioni con le parole «non», «e», «o», «se… allora» ottieni una proposizione composta. Quelle parole si chiamano connettivi logici.

Per tutto l'articolo useremo questi due esempi:

• $p$: «6 è pari» (vera)
• $q$: «7 è divisibile per 3» (falsa)

La negazione: «non»

La negazione di $p$ si scrive $\neg p$ (si legge «non p»). Ha il valore opposto: se $p$ è vera, $\neg p$ è falsa, e viceversa.

$\neg p$: «6 non è pari», falsa. $\neg q$: «7 non è divisibile per 3», vera.

Congiunzione e disgiunzione: «e» e «o»

Ecco la tavola di verità completa. Con due proposizioni i casi possibili sono $2^2=4$: scrivili sempre nello stesso ordine (VV, VF, FV, FF), così non ne salti nessuno.

Con il nostro esempio ($p$ vera, $q$ falsa) siamo nella seconda riga: «6 è pari e 7 è divisibile per 3» è falsa, «6 è pari o 7 è divisibile per 3» è vera.

Nota il legame con gli insiemi: la «e» funziona come l'intersezione (devi stare in tutti e due), la «o» come l'unione (basta stare in uno).

Implicazione e doppia implicazione

L'implicazione $p\Rightarrow q$ si legge «se p, allora q». $p$ si chiama premessa (o ipotesi), $q$ conseguenza (o tesi).

Perché l'implicazione con premessa falsa è vera

È la riga che lascia tutti perplessi. Pensa a una promessa: «Se prendi 8 in verifica, ti porto al cinema». Quando la promessa è stata tradita? Solo se prendi 8 (premessa vera) e al cinema non ci vai (conseguenza falsa). Se prendi 6, qualunque cosa succeda, la promessa non è stata infranta: quindi l'implicazione resta vera.

Con i nostri esempi: «se 6 è pari, allora 7 è divisibile per 3» è falsa (V ⇒ F). Invece «se 7 è divisibile per 3, allora 6 è pari» è vera (F ⇒ V).

Inversa e contronominale

Da $p\Rightarrow q$ si ottengono altre implicazioni, e non tutte dicono la stessa cosa:

• Inversa: $q\Rightarrow p$. Può avere un valore diverso. «Se un numero finisce per 0, è pari» è vera; «se un numero è pari, finisce per 0» è falsa (pensa a 4).
• Contronominale: $\neg q\Rightarrow \neg p$. Ha sempre lo stesso valore di $p\Rightarrow q$. «Se un numero non è pari, non finisce per 0»: vera, come l'originale.

Le tavole di verità passo per passo

Per una proposizione composta, costruisci la tavola una colonna alla volta, dall'interno verso l'esterno, come in un'espressione con le parentesi.

Esempio: studia $(p\vee q)\wedge \neg p$.

1. Scrivi le colonne di $p$ e $q$ con i 4 casi.
2. Calcola $p\vee q$.
3. Calcola $\neg p$.
4. Fai la «e» tra le colonne dei passi 2 e 3.

È vera solo quando $p$ è falsa e $q$ è vera. Ha senso: «o p o q, e non p» vuol dire che deve essere vera $q$.

Tautologie, contraddizioni ed equivalenze

• Una tautologia è sempre vera, in ogni riga. Esempio: $p\vee \neg p$.
• Una contraddizione è sempre falsa. Esempio: $p\wedge \neg p$.
• Due proposizioni sono logicamente equivalenti se hanno la stessa colonna nella tavola. Le più usate sono le leggi di De Morgan:

In parole: la negazione di una «e» è una «o» delle negazioni, e viceversa. Sono le stesse leggi che valgono con i complementari degli insiemi.

I quantificatori

Le frasi come «$x$ è pari» non sono proposizioni finché non sai chi è $x$: si chiamano enunciati aperti. Diventano proposizioni in due modi: sostituendo un valore, oppure con un quantificatore.

• Quantificatore universale $\forall$ («per ogni»): $\forall x\in \mathbb{N},x^2\ge x$ significa «ogni numero naturale è minore o uguale al suo quadrato». È vera.
• Quantificatore esistenziale $\exists$ («esiste almeno un»): $\exists x\in \mathbb{N}\mid x^2=10$ significa «esiste un naturale il cui quadrato è 10». È falsa: $3^2=9$ e $4^2=16$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Quali di queste sono proposizioni? a) «12 è multiplo di 4» b) «Chiudi la finestra» c) «Il blu è il colore più bello» d) «3 + 5 = 9».

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Sono proposizioni a) (vera) e d) (falsa). b) è un ordine e c) è un'opinione: non si può stabilire se sono vere o false.

2. $p$: «3 > 5», $q$: «2 + 2 = 4». Trova il valore di $\neg p$, $p\wedge q$, $p\vee q$, $p\Rightarrow q$, $q\Rightarrow p$.

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$p$ è falsa, $q$ è vera.

• $\neg p$: V
• $p\wedge q$: F (una delle due è falsa)
• $p\vee q$: V (basta $q$)
• $p\Rightarrow q$: V (premessa falsa)
• $q\Rightarrow p$: F (V ⇒ F)

3. Scrivi la negazione di «Tutti gli studenti della classe hanno fatto i compiti».

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«Almeno uno studente della classe non ha fatto i compiti» (oppure «Esiste uno studente che non ha fatto i compiti»).

Livello medio

4. Costruisci la tavola di verità di $\neg p\vee q$ e confrontala con quella di $p\Rightarrow q$.

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$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p\vee q$
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

La colonna finale è V, F, V, V: la stessa di $p\Rightarrow q$. Le due proposizioni sono logicamente equivalenti.

5. Verifica con la tavola che $(p\wedge q)\Rightarrow p$ è una tautologia.

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$p$	$q$	$p\wedge q$	$(p\wedge q)\Rightarrow p$
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Sempre V: è una tautologia. L'unico caso in cui la premessa è vera (prima riga) ha anche $p$ vera.

6. Scrivi la negazione di «Marco studia e Sara gioca» usando De Morgan.

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$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$: «Marco non studia o Sara non gioca».

Livello verifica

7. Dimostra con la tavola che $\neg (p\Rightarrow q)$ è equivalente a $p\wedge \neg q$.

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$p$	$q$	$p\Rightarrow q$	$\neg (p\Rightarrow q)$	$\neg q$	$p\wedge \neg q$
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	F	F
F	F	V	F	V	F

Le colonne di $\neg (p\Rightarrow q)$ e di $p\wedge \neg q$ coincidono (F, V, F, F): sono equivalenti. Negare «se p allora q» vuol dire «p è vera e q no».

8. Stabilisci se è vera e scrivi la negazione: «Esiste un numero naturale il cui quadrato è 10».

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È falsa: $3^2=9$, $4^2=16$, e nessun naturale sta tra 3 e 4. La negazione è «Per ogni numero naturale, il suo quadrato è diverso da 10», che è vera.

Dove torna la logica

La logica non è un capitolo isolato: è il linguaggio di tutta la matematica. I connettivi «e» e «o» sono gli stessi delle operazioni tra insiemi, l'implicazione è la struttura di ogni teorema di geometria (ipotesi ⇒ tesi), come vedrai con i criteri di congruenza dei triangoli, e i quantificatori servono per capire bene le definizioni delle funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Se hai una verifica a breve, dai un'occhiata anche a come prepararsi alla verifica di matematica.