Criteri di congruenza dei triangoli: LAL, ALA, LLL spiegati con dimostrazioni svolte

I criteri di congruenza dei triangoli dicono quali informazioni bastano per essere sicuri che due triangoli siano uguali, senza doverli sovrapporre. Sono tre: LAL, ALA e LLL. Sono il cuore della geometria di prima superiore, perché quasi ogni dimostrazione passa da qui. Qui trovi i tre criteri spiegati con il perché, i casi in cui non funzionano, il metodo per scrivere una dimostrazione, esempi svolti, gli errori da verifica ed esercizi con soluzioni.

Che cosa vuol dire congruenti

Due figure sono congruenti quando si possono sovrapporre perfettamente con un movimento rigido (spostandole, ruotandole o ribaltandole, senza deformarle). Si scrive $ABC\cong DEF$.

Due triangoli congruenti hanno sei coppie di elementi congruenti: tre lati e tre angoli. I lati che si sovrappongono si chiamano corrispondenti, così come gli angoli. Una regola utile: in due triangoli congruenti, a lati congruenti si oppongono angoli congruenti, e viceversa.

La buona notizia dei criteri è che non devi controllare tutti e sei gli elementi: ne bastano tre, purché siano quelli giusti.

I tre criteri di congruenza

Il primo criterio: LAL

Perché funziona? Se fissi l'angolo $\hat{A}$ e su ciascun lato dell'angolo misuri un segmento ($AB$ e $AC$), i punti $B$ e $C$ sono decisi. Il terzo lato $BC$ è il segmento che li unisce, e non hai nessuna libertà: il triangolo è uno solo.

La parola chiave è compreso: l'angolo deve stare tra i due lati, cioè deve avere il vertice in comune con entrambi.

Il secondo criterio: ALA

Perché funziona? Disegni il lato $AB$. Dagli estremi fai partire due semirette con gli angoli dati: le semirette si incontrano in un solo punto, che è il vertice $C$. Di nuovo, il triangolo è uno solo.

Più avanti nel programma, dopo il teorema sulla somma degli angoli interni (che vale $180°$), si vede che basta un lato e due angoli qualsiasi, anche non adiacenti: il terzo angolo si ricava per differenza. Si chiama secondo criterio generalizzato. Usalo solo quando il tuo prof l'ha già spiegato.

Il terzo criterio: LLL

Perché funziona? Puoi provarlo con tre stecchini: una volta chiuso il triangolo, non si muove più. Il triangolo è l'unico poligono rigido, ed è per questo che si usa nei ponti, nelle gru e nelle travi dei tetti. Un quadrilatero con quattro lati fissati, invece, si schiaccia (diventa un rombo sempre più piatto).

Quando i criteri non valgono

Conoscere i casi che non funzionano è importante quanto conoscere i criteri, perché sono la trappola preferita delle verifiche.

Tre angoli (AAA). Due triangoli con gli stessi angoli possono avere misure diverse: un triangolo equilatero di lato 2 cm e uno di lato 5 cm hanno entrambi tre angoli di $60°$, ma non si sovrappongono. Hanno la stessa forma e si chiamano simili.

Due lati e un angolo non compreso (LLA). Prendi un angolo di $30°$ con vertice $A$, segna $AB=6$ cm su un lato e punta il compasso in $B$ con apertura 4 cm. La circonferenza taglia l'altro lato dell'angolo in due punti, a circa 2,55 cm e 7,84 cm da $A$. Vengono due triangoli diversi, entrambi con $AB=6$, $BC=4$ e $\hat{A}=30°$. Quindi LLA non è un criterio.

Come si scrive una dimostrazione

Ogni dimostrazione con i criteri segue lo stesso schema. Imparalo una volta e lo usi sempre.

1. Disegna la figura con cura, segnando con lo stesso simbolo (trattini sui lati, archetti sugli angoli) gli elementi congruenti dell'ipotesi.
2. Scrivi ipotesi e tesi: cosa sai e cosa devi dimostrare.
3. Scegli i due triangoli che contengono gli elementi della tesi.
4. Elenca tre coppie di elementi congruenti, ognuna con il suo motivo («per ipotesi», «lato in comune», «angoli opposti al vertice», «metà di segmenti congruenti»).
5. Cita il criterio e concludi: i due triangoli sono congruenti, quindi anche gli elementi corrispondenti che cercavi.

Esempi svolti

1. Con LAL. I segmenti $AB$ e $CD$ si tagliano nel loro punto medio comune $O$. Dimostra che $AC\cong BD$.

Ipotesi: $AO\cong OB$, $CO\cong OD$. Tesi: $AC\cong BD$.

Considera i triangoli $AOC$ e $BOD$:

• $AO\cong OB$ per ipotesi;
• $CO\cong OD$ per ipotesi;
• $A\hat{O}C\cong B\hat{O}D$ perché opposti al vertice.

L'angolo è compreso tra i due lati, quindi per il primo criterio $AOC\cong BOD$. In particolare $AC\cong BD$, perché sono i lati opposti agli angoli congruenti in $O$.

2. Con LAL in un triangolo isoscele. Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ prendi $D$ su $AB$ ed $E$ su $AC$ con $BD\cong CE$. Dimostra che $CD\cong BE$.

Considera i triangoli $DBC$ ed $ECB$:

• $BD\cong CE$ per ipotesi;
• $BC$ è in comune;
• $D\hat{B}C\cong E\hat{C}B$ perché angoli alla base di un triangolo isoscele.

Per il primo criterio $DBC\cong ECB$, quindi $CD\cong BE$.

3. Con ALA. Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$ le bisettrici degli angoli alla base incontrano i lati opposti in $D$ (su $AC$) ed $E$ (su $AB$). Dimostra che $BD\cong CE$.

Considera i triangoli $DBC$ ed $ECB$:

• $BC$ è in comune;
• $E\hat{B}C\cong D\hat{C}B$ perché angoli alla base del triangolo isoscele;
• $D\hat{B}C\cong E\hat{C}B$ perché metà di angoli congruenti.

I due angoli sono adiacenti al lato $BC$, quindi per il secondo criterio $DBC\cong ECB$ e $BD\cong CE$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base: quale criterio?

Esercizio 1. Due triangoli hanno $AB\cong DE$, $BC\cong EF$ e $\hat{B}\cong \hat{E}$. Sono congruenti? Con quale criterio?

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Sì, per il primo criterio (LAL): l'angolo $\hat{B}$ è compreso tra $AB$ e $BC$.

Esercizio 2. Due triangoli hanno $AB\cong DE$, $\hat{A}\cong \hat{D}$ e $\hat{B}\cong \hat{E}$. Sono congruenti?

Mostra la soluzione

Sì, per il secondo criterio (ALA): gli angoli $\hat{A}$ e $\hat{B}$ sono adiacenti al lato $AB$.

Esercizio 3. Due triangoli hanno $AB\cong DE$, $BC\cong EF$ e $\hat{A}\cong \hat{D}$. Sono sicuramente congruenti?

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No. L'angolo $\hat{A}$ non è compreso tra $AB$ e $BC$: è il caso LLA, che non è un criterio. Possono esistere due triangoli diversi con questi dati.

Esercizio 4. Due triangoli hanno i tre angoli congruenti. Sono congruenti?

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Non necessariamente: possono essere uno l'ingrandimento dell'altro. Sono simili, ma per la congruenza serve almeno un lato.

Livello verifica: dimostrazioni

Esercizio 5. Nel triangolo isoscele $ABC$ di base $BC$, sia $M$ il punto medio di $BC$. Dimostra che la mediana $AM$ è perpendicolare a $BC$.

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Considera i triangoli $ABM$ e $ACM$:

• $AB\cong AC$ perché il triangolo è isoscele;
• $BM\cong MC$ perché $M$ è il punto medio;
• $AM$ è in comune.

Per il terzo criterio $ABM\cong ACM$, quindi $A\hat{M}B\cong A\hat{M}C$. Questi due angoli sono adiacenti e insieme formano un angolo piatto ($180°$), quindi ciascuno misura $90°$: $AM\perp BC$.

Esercizio 6. Nel quadrilatero $ABCD$ si ha $AB\cong CD$ e $AD\cong BC$. Dimostra che $\hat{A}\cong \hat{C}$.

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Traccia la diagonale $BD$ e considera i triangoli $ABD$ e $CDB$:

• $AB\cong CD$ per ipotesi;
• $AD\cong CB$ per ipotesi;
• $BD$ è in comune.

Per il terzo criterio $ABD\cong CDB$. L'angolo $\hat{A}$ è opposto al lato $BD$ nel primo triangolo, l'angolo $\hat{C}$ è opposto a $BD$ nel secondo: quindi $\hat{A}\cong \hat{C}$.

Esercizio 7. Due triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sono congruenti. Dimostra che le mediane $AM$ e $A^{\prime }{M}^{\prime }$ (con $M$ punto medio di $BC$ e $M^{\prime }$ di $B^{\prime }{C}^{\prime }$) sono congruenti.

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Considera i triangoli $ABM$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }$:

• $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$ perché lati corrispondenti di triangoli congruenti;
• $BM\cong B^{\prime }{M}^{\prime }$ perché metà di segmenti congruenti ($BC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$);
• $\hat{B}\cong \widehat{B^{\prime }}$ perché angoli corrispondenti di triangoli congruenti.

L'angolo è compreso tra i due lati, quindi per il primo criterio $ABM\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{M}^{\prime }$ e $AM\cong A^{\prime }{M}^{\prime }$.

Esercizio 8. Sia $M$ il punto medio del segmento $AB$. Da parti opposte di $AB$ traccia due semirette, una da $A$ e una da $B$, che formano con $AB$ angoli congruenti. Una retta per $M$ incontra la prima semiretta in $P$ e la seconda in $Q$. Dimostra che $MP\cong MQ$.

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Considera i triangoli $AMP$ e $BMQ$:

• $AM\cong MB$ perché $M$ è il punto medio;
• $P\hat{A}M\cong Q\hat{B}M$ per ipotesi;
• $A\hat{M}P\cong B\hat{M}Q$ perché opposti al vertice.

I due angoli sono adiacenti ai lati $AM$ e $MB$, quindi per il secondo criterio $AMP\cong BMQ$ e $MP\cong MQ$.

Da qui in avanti

I criteri di congruenza sono gli attrezzi con cui si dimostra quasi tutto il resto della geometria: le proprietà del triangolo isoscele, del parallelogramma, e il teorema di Pitagora con le sue figure. Per scrivere dimostrazioni pulite aiuta anche la logica matematica: ipotesi e tesi sono le due parti di un'implicazione «se… allora». Per avere il quadro di tutto quello che si fa durante l'anno, guarda il programma di matematica di prima superiore, e prima del compito leggi come prepararsi alla verifica di matematica.