Teorema di Pitagora: formula, formule inverse, terne pitagoriche ed esercizi svolti

Il teorema di Pitagora è la formula più famosa della geometria: in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Con questa sola regola trovi un lato che manca, la diagonale di un rettangolo, l'altezza di un triangolo isoscele o il lato di un rombo. Qui trovi la formula e le formule inverse, il perché spiegato con una figura, le terne pitagoriche da sapere a memoria, esempi svolti sulle figure, gli errori che i prof segnano in rosso ed esercizi con le soluzioni.

L'enunciato del teorema

In un triangolo rettangolo i due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti, il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa ed è sempre il lato più lungo.

L'esempio classico è il triangolo con cateti 3 e 4: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, quindi l'ipotenusa è 5.

Le formule inverse

Dalla formula principale ricavi tutto quello che serve, a seconda di cosa manca:

La regola da ricordare: per l'ipotenusa sommi, per un cateto sottrai. E sottrai sempre il quadrato del cateto dal quadrato dell'ipotenusa, mai il contrario (verrebbe un numero negativo, e la radice di un numero negativo non esiste tra i numeri reali).

Esempio: ipotenusa 13 e un cateto 5. L'altro cateto è $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Perché è vero: la dimostrazione con i quattro triangoli

Prendi quattro copie dello stesso triangolo rettangolo, con cateti $a$, $b$ e ipotenusa $c$. Disponile dentro un quadrato di lato $a+b$, una per angolo, in modo che le ipotenuse formino al centro un quadrato inclinato di lato $c$.

L'area del quadrato grande si può calcolare in due modi:

• direttamente: $(a+b{)}^2$;
• come somma dei pezzi: il quadrato centrale più i quattro triangoli, cioè $c^2+4\cdot \frac{ab}{2}=c^2+2ab$.

Le due aree sono uguali. Sviluppando il quadrato di binomio (lo trovi nei prodotti notevoli):

$$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$

Togli $2ab$ da entrambi i membri e resta $a^2+b^2=c^2$. È la dimostrazione più breve che esista, e capirla ti fa ricordare la formula per sempre. A scuola ne vedrai anche un'altra, con i teoremi di Euclide, di solito in seconda superiore.

Le terne pitagoriche

Una terna pitagorica è un gruppo di tre numeri interi che soddisfano $a^2+b^2=c^2$. Conoscerne qualcuna fa risparmiare un sacco di tempo in verifica, perché ti accorgi subito del risultato.

Il teorema inverso: capire se un triangolo è rettangolo

Vale anche il contrario: se in un triangolo il quadrato del lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, il triangolo è rettangolo. È utile quando ti danno tre lati e ti chiedono che triangolo è.

• Lati 7, 24, 25: $49+576=625=25^2$. Rettangolo.
• Lati 6, 7, 9: $36+49=85$, mentre $9^2=81$. Non è rettangolo (e siccome $81<85$, è acutangolo).

Esempi svolti sulle figure

Il teorema si usa quasi sempre dentro un'altra figura. Il lavoro vero è trovare il triangolo rettangolo nascosto:

• nel rettangolo e nel quadrato lo forma la diagonale con due lati;
• nel rombo lo formano le due metà delle diagonali con un lato;
• nel triangolo isoscele e nell'equilatero lo forma l'altezza, che cade nel punto medio della base;
• nel trapezio rettangolo e nel trapezio isoscele lo forma l'altezza con il lato obliquo e la differenza delle basi (nell'isoscele, metà della differenza).

Disegna sempre la figura, ripassa con un colore il triangolo rettangolo che usi e scrivi accanto quali sono i cateti e qual è l'ipotenusa. Sembra una perdita di tempo, ma è il modo più sicuro per non scambiare i lati.

1. Diagonale di un rettangolo. Un rettangolo ha i lati di 9 cm e 12 cm. Quanto è lunga la diagonale?

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli con cateti 9 e 12. Quindi $d=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

2. Diagonale di un quadrato. Un quadrato ha il lato di 5 cm.

$d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,07$ cm. In generale la diagonale di un quadrato di lato $l$ è $l\sqrt{2}$.

3. Altezza di un triangolo equilatero. Il lato è 10 cm.

L'altezza cade nel punto medio della base, quindi forma un triangolo rettangolo con ipotenusa 10 e cateto 5:

$$h=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\approx 8,66\text{ cm}$$

4. Triangolo isoscele. Base 16 cm, lati obliqui 17 cm. Trova l'altezza e l'area.

L'altezza divide la base a metà: cateto 8, ipotenusa 17. Quindi $h=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm e l'area è $\frac{16\cdot 15}{2}=120$ cm².

5. Rombo. Le diagonali misurano 24 cm e 10 cm. Trova il lato e il perimetro.

Le diagonali di un rombo si tagliano a metà ad angolo retto, quindi ogni lato è l'ipotenusa di un triangolo con cateti 12 e 5: $l=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. Il perimetro è $4\cdot 13=52$ cm.

6. Distanza tra due punti. Nel piano cartesiano trova la distanza tra $A(1,2)$ e $B(4,6)$.

Il segmento $AB$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto orizzontale lungo $4-1=3$ e uno verticale lungo $6-2=4$. Quindi $AB=\sqrt{9+16}=5$. Ecco la terna 3, 4, 5 che ritorna.

7. Un problema reale. Una scala lunga 2,5 m è appoggiata a un muro, con il piede a 0,7 m dal muro. A che altezza arriva?

Scala = ipotenusa, distanza dal muro = cateto: $h=\sqrt{2,5^2-0,7^2}=\sqrt{6,25-0,49}=\sqrt{5,76}=2,4$ m.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Esercizio 1. I cateti di un triangolo rettangolo misurano 9 cm e 12 cm. Trova l'ipotenusa.

Mostra la soluzione

$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. (È la terna 3, 4, 5 moltiplicata per 3.)

Esercizio 2. L'ipotenusa misura 25 cm e un cateto 7 cm. Trova l'altro cateto.

Mostra la soluzione

$b=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ cm.

Esercizio 3. I cateti misurano entrambi 1. Quanto vale l'ipotenusa?

Mostra la soluzione

$c=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx 1,41$. È la diagonale di un quadrato di lato 1.

Livello medio

Esercizio 4. Il triangolo con lati 8, 15, 17 è rettangolo? E quello con lati 5, 6, 8?

Mostra la soluzione

• 8, 15, 17: $64+225=289=17^2$. Sì, è rettangolo.
• 5, 6, 8: $25+36=61$, mentre $8^2=64$. Non è rettangolo (siccome $64>61$, è ottusangolo).

Esercizio 5. Un rettangolo ha la base di 24 cm e la diagonale di 26 cm. Trova altezza, area e perimetro.

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• Altezza: $\sqrt{676-576}=\sqrt{100}=10$ cm.
• Area: $24\cdot 10=240$ cm².
• Perimetro: $2\cdot (24+10)=68$ cm.

Esercizio 6. Un triangolo isoscele ha la base di 10 cm e l'altezza di 12 cm. Trova il lato obliquo e il perimetro.

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Metà base 5, altezza 12: $l=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. Perimetro: $10+13+13=36$ cm.

Livello verifica

Esercizio 7. Trova altezza e area di un triangolo equilatero di lato 6 cm.

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• Altezza: $h=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5,20$ cm.
• Area: $\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15,59$ cm².

Esercizio 8. Un trapezio rettangolo ha le basi di 20 cm e 14 cm e l'altezza di 8 cm. Trova il lato obliquo e il perimetro.

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Togli la base minore dalla maggiore: $20-14=6$ cm. Il lato obliquo è l'ipotenusa di un triangolo con cateti 6 e 8: $\sqrt{36+64}=10$ cm. Perimetro: $20+14+8+10=52$ cm.

Esercizio 9. Un rombo ha il lato di 25 cm e una diagonale di 48 cm. Trova l'altra diagonale e l'area.

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Metà della diagonale nota: 24 cm. Metà dell'altra: $\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$ cm, quindi l'altra diagonale è 14 cm. Area: $\frac{48\cdot 14}{2}=336$ cm².

Pitagora nel resto del programma

Il teorema di Pitagora si appoggia su quello che sai dei triangoli: per riconoscere i triangoli uguali che compaiono nelle figure ripassa i criteri di congruenza dei triangoli. Torna poi nel piano cartesiano, dove la distanza tra due punti è proprio un'ipotenusa, e più avanti nella similitudine, che lavora con le proporzioni tra i lati.