Proporzioni: come si risolvono, proprietà ed esercizi svolti

Le proporzioni sono uno di quegli argomenti che sembrano facili finché non arriva l'esercizio con la x nel posto sbagliato o il problema con la somma. In realtà basta una regola sola, la proprietà fondamentale, più due proprietà (comporre e scomporre) per i problemi. Qui trovi la regola spiegata con il perché, esempi svolti dal più semplice al più difficile, gli errori che costano punti in verifica ed esercizi con la soluzione da aprire.

Che cos'è una proporzione

Un rapporto tra due numeri è semplicemente una divisione: il rapporto tra 3 e 4 si scrive $3:4$ e vale $\frac{3}{4}$. Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti:

$$a:b=c:d$$

Si legge «a sta a b come c sta a d». Per esempio $3:4=9:12$ è una proporzione, perché $\frac{3}{4}$ e $\frac{9}{12}$ sono la stessa frazione (semplifica $\frac{9}{12}$ per 3 e ottieni $\frac{3}{4}$).

I quattro numeri hanno un nome:

• $a$ e $d$, il primo e l'ultimo, sono gli estremi;
• $b$ e $c$, quelli in mezzo, sono i medi;
• $a$ e $c$ si chiamano antecedenti, $b$ e $d$ conseguenti.

La proprietà fondamentale

Perché funziona? Una proporzione è un'uguaglianza tra frazioni: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Se moltiplichi entrambi i membri per $b\cdot d$ (come faresti in un'equazione), a sinistra il $b$ si semplifica e resta $a\cdot d$, a destra si semplifica il $d$ e resta $c\cdot b$. Quindi $a\cdot d=b\cdot c$. Non è magia: è lo stesso ragionamento delle equazioni di primo grado.

Controlliamo l'esempio di prima: in $3:4=9:12$ i medi danno $4\cdot 9=36$, gli estremi $3\cdot 12=36$. Uguali, quindi la proporzione è vera.

Come trovare la x in una proporzione

Quasi tutti gli esercizi chiedono di trovare il termine che manca. Dalla proprietà fondamentale escono due regole pratiche.

Se manca un estremo: moltiplichi i due medi e dividi per l'estremo che conosci.

$$x:6=10:15\Rightarrow x=\frac{6\cdot 10}{15}=\frac{60}{15}=4$$

Se manca un medio: moltiplichi i due estremi e dividi per il medio che conosci.

$$4:x=10:25\Rightarrow x=\frac{4\cdot 25}{10}=\frac{100}{10}=10$$

Verifica sempre alla fine: $4:10=10:25$ dà $10\cdot 10=100$ e $4\cdot 25=100$. Torna.

La proporzione continua e il medio proporzionale

Una proporzione è continua quando i due medi sono uguali, come in $4:x=x:9$. Il numero $x$ si chiama medio proporzionale tra 4 e 9. Dalla proprietà fondamentale:

$$x\cdot x=4\cdot 9\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=6$$

Il medio proporzionale si trova quindi con la radice quadrata del prodotto degli estremi (negli esercizi di prima si prende il valore positivo).

Le altre proprietà: permutare, invertire, comporre, scomporre

Oltre alla proprietà fondamentale ce ne sono altre quattro. Le prime due servono a riscrivere una proporzione, le ultime due sono quelle che risolvono i problemi.

• Permutare: puoi scambiare tra loro i medi, oppure gli estremi. Da $3:4=9:12$ ottieni $3:9=4:12$.
• Invertire: puoi scambiare ogni antecedente con il suo conseguente. Da $3:4=9:12$ ottieni $4:3=12:9$.
• Comporre: la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma degli altri due sta al terzo (o al quarto).
• Scomporre: come comporre, ma con la differenza.

Il comporre si usa quando conosci la somma di due numeri e il loro rapporto. Esempio: due numeri hanno somma 35 e stanno tra loro come 3 sta a 4. Scrivi $x:y=3:4$ e componi:

$$(x+y):x=(3+4):3\Rightarrow 35:x=7:3$$

Quindi $x=\frac{35\cdot 3}{7}=15$ e $y=35-15=20$. Controllo: $15:20$ semplificato dà proprio $3:4$.

Lo scomporre si usa quando conosci la differenza. Due numeri hanno differenza 12 e stanno come 5 sta a 2:

$$(x-y):x=(5-2):5\Rightarrow 12:x=3:5$$

Quindi $x=\frac{12\cdot 5}{3}=20$ e $y=20-12=8$.

Esempi svolti

1. Proporzione con un'espressione. Risolvi $(x+2):5=6:3$.

Estremi per estremi, medi per medi: $3\cdot (x+2)=5\cdot 6$, cioè $3x+6=30$. Quindi $3x=24$ e $x=8$. Controllo: $(8+2):5=10:5=2$ e $6:3=2$.

2. Proporzione con le frazioni. Risolvi $\frac{2}{3}:x=\frac{4}{5}:\frac{6}{7}$.

La x è un medio, quindi moltiplichi gli estremi e dividi per l'altro medio:

$$x=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{7}}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{7}$$

Ricorda che dividere per una frazione vuol dire moltiplicare per la sua reciproca. Se le frazioni ti fanno paura, ripassa le espressioni con le frazioni.

3. Una ricetta. Per 4 persone servono 250 g di farina. Quanta ne serve per 6 persone?

Farina e persone sono direttamente proporzionali (più persone, più farina, nello stesso rapporto): $250:4=x:6$, quindi $x=\frac{250\cdot 6}{4}=375$ g.

4. La scala di una cartina. Su una cartina in scala $1:50000$ due paesi distano 3 cm. Quanto distano nella realtà?

$1:50000=3:x$, quindi $x=150000$ cm. Dividendo per $100000$ (in un km ci sono $100000$ cm) ottieni 1,5 km.

5. Ripartizione in parti proporzionali. Dividi 120 euro in parti proporzionali a 2, 3 e 5.

Le parti in tutto sono $2+3+5=10$, quindi una parte vale $120:10=12$ euro. Le tre quote sono $2\cdot 12=24$, $3\cdot 12=36$ e $5\cdot 12=60$ euro. Controllo: $24+36+60=120$.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Nei problemi la proporzione non è scritta: devi costruirla tu. Per farlo bene devi capire che legame c'è tra le due grandezze.

Due grandezze sono direttamente proporzionali se, quando una raddoppia, anche l'altra raddoppia (e se una si dimezza, si dimezza anche l'altra). In questo caso il loro rapporto resta costante. Esempi: quaderni e prezzo, persone e farina della ricetta, centimetri sulla cartina e chilometri reali. Qui la proporzione si scrive nell'ordine «naturale», come negli esempi 3 e 4.

Due grandezze sono inversamente proporzionali se, quando una raddoppia, l'altra si dimezza. In questo caso resta costante il loro prodotto. Esempi: operai e giorni per finire un lavoro, velocità e tempo per fare lo stesso percorso.

Un'auto a 60 km/h impiega 3 ore per un viaggio. A 90 km/h quanto ci mette? Velocità e tempo sono inversamente proporzionali, quindi il prodotto è costante:

$$60\cdot 3=90\cdot x\Rightarrow x=\frac{180}{90}=2\text{ ore}$$

Se vuoi scriverlo come proporzione, devi invertire uno dei due rapporti: $60:90=x:3$. Il prodotto dei medi ($90x$) è uguale a quello degli estremi ($180$), quindi di nuovo $x=2$. Nel piano cartesiano le due situazioni hanno grafici diversi: una retta che passa per l'origine per la proporzionalità diretta, un ramo di iperbole per quella inversa. Le ritrovi nel capitolo sulle relazioni e funzioni, insieme al piano cartesiano.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Esercizio 1. Risolvi $x:8=15:24$.

Mostra la soluzione

La x è un estremo: $24x=8\cdot 15=120$, quindi $x=5$. Controllo: $8\cdot 15=120$ e $5\cdot 24=120$.

Esercizio 2. Risolvi $7:x=21:12$.

Mostra la soluzione

La x è un medio: $21x=7\cdot 12=84$, quindi $x=4$.

Esercizio 3. Trova il medio proporzionale tra 5 e 20.

Mostra la soluzione

$5:x=x:20$, quindi $x^2=100$ e $x=10$.

Livello medio

Esercizio 4. Risolvi $(x-1):4=9:6$.

Mostra la soluzione

$6(x-1)=4\cdot 9$, cioè $6x-6=36$, quindi $6x=42$ e $x=7$. Controllo: $6:4=1,5$ e $9:6=1,5$.

Esercizio 5. Risolvi $\frac{3}{4}:x=\frac{1}{2}:\frac{2}{3}$.

Mostra la soluzione

La x è un medio: $x=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}:\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2=1$.

Esercizio 6. Se 5 quaderni costano 7,50 euro, quanto costano 8 quaderni?

Mostra la soluzione

$5:7,50=8:x$, quindi $x=\frac{7,50\cdot 8}{5}=12$ euro. (Un quaderno costa 1,50 euro.)

Livello verifica

Esercizio 7. Due numeri hanno somma 48 e stanno tra loro come 5 sta a 3. Trovali.

Mostra la soluzione

$x:y=5:3$. Componendo: $(x+y):x=8:5$, cioè $48:x=8:5$.

• $x=\frac{48\cdot 5}{8}=30$
• $y=48-30=18$

Controllo: $30:18$ semplificato per 6 dà $5:3$.

Esercizio 8. Due numeri hanno differenza 15 e stanno tra loro come 7 sta a 4. Trovali.

Mostra la soluzione

$x:y=7:4$. Scomponendo: $(x-y):x=3:7$, cioè $15:x=3:7$.

• $x=\frac{15\cdot 7}{3}=35$
• $y=35-15=20$

Controllo: $35:20$ semplificato per 5 dà $7:4$.

Esercizio 9. Dividi 90 in parti proporzionali a 1, 2 e 3.

Mostra la soluzione

Le parti sono $1+2+3=6$, quindi una parte vale $90:6=15$. Le quote sono 15, 30 e 45 (somma 90).

Dove si usano le proporzioni

Le proporzioni non finiscono con questo capitolo. Le ritrovi subito nella percentuale, che è una proporzione con il 100 al quarto posto ($parte:totale=p:100$), e nei problemi con le equazioni, dove molti testi si traducono proprio in un rapporto. Più avanti tornano in geometria con il teorema di Talete e la similitudine. Le proporzioni si reggono sui conti con le frazioni: se vuoi renderli automatici, puoi allenarti gratis su Allenati online.