Disequazioni di primo grado: regole, intervalli e sistemi, con esercizi svolti

Q: Quando si cambia il verso in una disequazione?

Solo quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, compreso il cambiare tutti i segni (che è moltiplicare per −1). Quando sposti un termine dall'altra parte, invece, il verso resta lo stesso.

Q: Perché si cambia il verso moltiplicando per un numero negativo?

Perché il segno meno ribalta l'ordine dei numeri sulla retta: 2 è minore di 5, ma −2 è maggiore di −5. Moltiplicando per un negativo i due membri si scambiano di posto rispetto allo zero, quindi la disuguaglianza si rovescia.

Q: Come si scrive la soluzione di una disequazione?

In tre modi equivalenti: come disuguaglianza (x > 3), come intervallo ((3; +∞)) o con un disegno sulla retta dei numeri. Il pallino pieno o la parentesi quadra indicano che l'estremo è compreso, il pallino vuoto o la parentesi tonda che è escluso.

Q: Come si risolve un sistema di disequazioni?

Si risolve ogni disequazione da sola, poi si mettono le soluzioni una sotto l'altra sulla retta e si prendono solo i valori che le soddisfano tutte, cioè l'intersezione. Se non c'è una parte comune il sistema è impossibile.

Disequazioni di primo grado spiegate semplici: quando si cambia il verso e perché, come si scrivono le soluzioni con gli intervalli, sistemi ed esercizi svolti.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 7 minuti di lettura

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Una retta dei numeri con il punto 3 vuoto e una freccia colorata che parte da 3 e va verso destra, sopra la scritta x > 3

In breve

Una disequazione di primo grado si risolve come un'equazione, con una regola in più: se moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, devi cambiare il verso della disuguaglianza. La soluzione non è un numero ma un intervallo, per esempio tutti gli x maggiori di 3.

Le disequazioni di primo grado si risolvono quasi come le equazioni: stesse parentesi, stessi denominatori, stessi trasporti. Cambiano due cose: c'è una regola in più sul verso (che va girato in un caso preciso) e la soluzione non è un numero ma un intervallo. Qui trovi il perché della regola, come si scrive la soluzione, 5 esempi svolti, i sistemi di disequazioni, gli errori da verifica e 10 esercizi con soluzione.

Che cos'è una disequazione

Una disequazione è una disuguaglianza con un'incognita, costruita con uno dei segni $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ . Per esempio:

3 x - 4 > 5

Risolverla vuol dire trovare tutti i numeri che la rendono vera. Prova: con $x = 4$ ottieni $8 > 5$ , vero; con $x = 3$ ottieni $5 > 5$ , falso; con $x = 10$ ottieni $26 > 5$ , vero. Le soluzioni sono infinite: tutti i numeri maggiori di $3$ . Per questo la risposta è un intervallo.

La regola del verso, con il perché

Anche per le disequazioni valgono i principi di equivalenza che conosci dalle equazioni di primo grado, con una differenza importante nel secondo.

Perché? Prendi una disuguaglianza vera, $2 < 5$ , e moltiplica per $- 1$ . Ottieni $- 2$ e $- 5$ . Sulla retta dei numeri $- 2$ sta a destra di $- 5$ , quindi $- 2 > - 5$ . Il meno fa da specchio rispetto allo zero: chi era più a sinistra finisce più a destra. Se non giri il verso, scrivi una cosa falsa.

Per lo stesso motivo, cambiare tutti i segni di una disequazione (che è moltiplicare per $- 1$ ) obbliga a girare il verso: $- x > 3$ diventa $x < - 3$ .

Come si scrive la soluzione

La stessa soluzione si può scrivere in tre modi. Il prof può chiederti uno qualsiasi.

Disuguaglianza	Intervallo	Sulla retta
$x > 3$	$(3; + \infty)$	pallino vuoto su 3, freccia a destra
$x \geq 3$	$[3; + \infty)$	pallino pieno su 3, freccia a destra
$x < - 2$	$(- \infty; - 2)$	pallino vuoto su −2, freccia a sinistra
$- 2 \leq x < 3$	$[- 2; 3)$	pieno su −2, vuoto su 3, tratto in mezzo

La parentesi quadra (o il pallino pieno) vuol dire estremo compreso; la tonda (o il pallino vuoto) vuol dire escluso. Verso l'infinito la parentesi è sempre tonda, perché l'infinito non è un numero che si possa raggiungere.

Esempi svolti

Esempio 1

3 x - 4 > 5

Trasporto: $3 x > 9$ . Divido per $3$ , che è positivo, quindi il verso resta: $x > 3$ , cioè $(3; + \infty)$ .

Esempio 2: coefficiente negativo

2 - 5 x \geq 12

Trasporto: $- 5 x \geq 10$ . Divido per $- 5$ , negativo, quindi giro il verso: $x \leq - 2$ , cioè $(- \infty; - 2]$ .

Controllo veloce con un numero: $x = - 3$ dà $2 + 15 = 17 \geq 12$ , vero. $x = 0$ dà $2 \geq 12$ , falso. Torna.

Esempio 3: con le parentesi

2 (x - 3) - (x + 1) \leq 3 x + 1

$2 x - 6 - x - 1 \leq 3 x + 1$ , cioè $x - 7 \leq 3 x + 1$ . Porto le $x$ a sinistra: $x - 3 x \leq 1 + 7$ , quindi $- 2 x \leq 8$ . Divido per $- 2$ e giro: $x \geq - 4$ .

Esempio 4: con i denominatori

\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > 1

m.c.m. $= 6$ , positivo, quindi il verso resta: $3 (x + 1) - 2 (x - 2) > 6$ .

3 x + 3 - 2 x + 4 > 6 \Rightarrow x + 7 > 6 \Rightarrow x > - 1

Esempio 5: quando la x sparisce

$2 (x + 1) > 2 x - 3$ diventa $2 x + 2 > 2 x - 3$ , cioè $0 x > - 5$ , ovvero $0 > - 5$ : sempre vero. La disequazione è verificata per ogni $x \in R$ .

$3 x - (x - 1) < 2 x$ diventa $2 x + 1 < 2 x$ , cioè $0 x < - 1$ , ovvero $0 < - 1$ : sempre falso. Nessuna soluzione: $S = \emptyset$ .

I sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni chiede i numeri che rendono vere tutte le disequazioni insieme. Si risolve così:

risolvi ogni disequazione per conto suo;
disegna le soluzioni su righe diverse, una sotto l'altra, sulla stessa retta;
prendi solo la zona dove tutte le righe sono colorate: è l'intersezione.

Esempio:

{2 x - 1 > 3 x + 4 \leq 10

La prima dà $x > 2$ , la seconda $x \leq 6$ . I numeri che stanno in tutte e due sono quelli tra $2$ (escluso) e $6$ (compreso): $2 < x \leq 6$ , cioè $(2; 6]$ .

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. $4 x + 3 < 19$

Mostra la soluzione

$4 x < 16$ , quindi $x < 4$ , cioè $(- \infty; 4)$ .

2. $6 - 2 x \geq 0$

Mostra la soluzione

$- 2 x \geq - 6$ . Divido per $- 2$ e giro: $x \leq 3$ , cioè $(- \infty; 3]$ .

3. $- 3 x + 1 > x + 9$

Mostra la soluzione

$- 3 x - x > 9 - 1$ , quindi $- 4 x > 8$ . Divido per $- 4$ e giro: $x < - 2$ .

Livello medio

4. $3 (x + 2) \leq 5 x - 4$

Mostra la soluzione

$3 x + 6 \leq 5 x - 4$ , quindi $- 2 x \leq - 10$ . Divido per $- 2$ e giro: $x \geq 5$ , cioè $[5; + \infty)$ .

5. $\frac{x - 1}{3} + \frac{x}{2} \geq 2$

Mostra la soluzione

m.c.m. $= 6$ : $2 (x - 1) + 3 x \geq 12$ , quindi $5 x - 2 \geq 12$ , $5 x \geq 14$ e $x \geq \frac{14}{5}$ .

6. $(x - 3) (x + 3) \geq x^{2} - 2 x$

Mostra la soluzione

$x^{2} - 9 \geq x^{2} - 2 x$ . Gli $x^{2}$ si cancellano: $2 x \geq 9$ , quindi $x \geq \frac{9}{2}$ .

7. Quali numeri naturali soddisfano $2 x - 7 < 3$ ?

Mostra la soluzione

$2 x < 10$ , quindi $x < 5$ . I naturali minori di $5$ sono 0, 1, 2, 3, 4.

Livello verifica

8. $(x + 2)^{2} - x^{2} < 4 (x + 1)$

Mostra la soluzione

$x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} < 4 x + 4$ , cioè $4 x + 4 < 4 x + 4$ , quindi $0 < 0$ : falso. Nessuna soluzione, $S = \emptyset$ . Attenzione: con $\leq$ al posto di $<$ sarebbe stata vera per ogni $x$ .

9. Risolvi il sistema: ${3 x - 2 < 7 2 x + 5 \geq 1$

Mostra la soluzione

La prima: $3 x < 9$ , quindi $x < 3$ . La seconda: $2 x \geq - 4$ , quindi $x \geq - 2$ . Intersezione: $- 2 \leq x < 3$ , cioè $[- 2; 3)$ .

10. Risolvi il sistema: ${x - 4 > 0 2 x < 6$

Mostra la soluzione

La prima dà $x > 4$ , la seconda $x < 3$ . Nessun numero è insieme maggiore di $4$ e minore di $3$ : il sistema è impossibile.

Dove andare adesso

Il passo successivo sono le disequazioni fratte, dove la $x$ compare al denominatore e si usa lo studio del segno. Se ti trovi in difficoltà con i passaggi di calcolo, il problema di solito è a monte: ripassa le equazioni di primo grado. Non confondere i sistemi di disequazioni (dove si cerca un intervallo) con i sistemi di equazioni, dove si cercano due incognite. E quando arriverai a disegnare rette e semipiani ti servirà il piano cartesiano.

Domande frequenti

Quando si cambia il verso in una disequazione?

Solo quando moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, compreso il cambiare tutti i segni (che è moltiplicare per −1). Quando sposti un termine dall'altra parte, invece, il verso resta lo stesso.

Perché si cambia il verso moltiplicando per un numero negativo?

Perché il segno meno ribalta l'ordine dei numeri sulla retta: 2 è minore di 5, ma −2 è maggiore di −5. Moltiplicando per un negativo i due membri si scambiano di posto rispetto allo zero, quindi la disuguaglianza si rovescia.

Come si scrive la soluzione di una disequazione?

In tre modi equivalenti: come disuguaglianza (x > 3), come intervallo ((3; +∞)) o con un disegno sulla retta dei numeri. Il pallino pieno o la parentesi quadra indicano che l'estremo è compreso, il pallino vuoto o la parentesi tonda che è escluso.

Cosa vuol dire se la x sparisce?

Resta una disuguaglianza tra numeri. Se è vera (per esempio 2 > −3) la disequazione è sempre verificata, per ogni x reale; se è falsa (per esempio 1 < 0) non ha nessuna soluzione.

Come si risolve un sistema di disequazioni?

Si risolve ogni disequazione da sola, poi si mettono le soluzioni una sotto l'altra sulla retta e si prendono solo i valori che le soddisfano tutte, cioè l'intersezione. Se non c'è una parte comune il sistema è impossibile.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore2ª superiore

Disequazioni di primo grado: regole, intervalli e sistemi, con esercizi svolti

Che cos'è una disequazione

La regola del verso, con il perché

Come si scrive la soluzione

Esempi svolti

Esempio 1

Esempio 2: coefficiente negativo

Esempio 3: con le parentesi

Esempio 4: con i denominatori

Esempio 5: quando la x sparisce

I sistemi di disequazioni

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dove andare adesso

Domande frequenti

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