Numeri relativi: regole dei segni, operazioni ed espressioni svolte

I numeri relativi sono i numeri con il segno davanti: $+5$, $-3$, $-12$, e lo zero che sta in mezzo. Con loro le operazioni funzionano quasi come con i numeri naturali, ma bisogna stare attenti ai segni: è proprio lì che si perdono i punti in verifica. Qui trovi le regole spiegate con il perché, gli errori che i prof segnano in rosso, tre espressioni svolte e dieci esercizi con soluzione.

Che cosa sono i numeri relativi

Pensa al termometro: sopra lo zero hai $+4$ gradi, sotto hai $-4$. Oppure al conto in banca: un deposito di 20 euro è $+20$, un debito di 20 euro è $-20$. I numeri relativi servono proprio a questo: dire quanto e anche da che parte rispetto a un punto di riferimento.

L'insieme dei numeri interi relativi si indica con $\mathbb{Z}$ e contiene i naturali, i loro opposti e lo zero:

$$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\dots \}$$

Sulla retta dei numeri lo zero sta al centro, i positivi a destra e i negativi a sinistra. Più un numero è a destra, più è grande. Quindi $-2>-9$, anche se 9 «sembra» più grande: un debito di 2 euro è meglio di un debito di 9.

Valore assoluto e numeri opposti

Il valore assoluto di un numero è il numero senza segno, cioè la sua distanza dallo zero. Si scrive tra due sbarrette:

$$|-7|=7|+7|=7|0|=0$$

Due numeri sono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto e segno diverso, come $+5$ e $-5$. La loro somma fa sempre zero: $(+5)+(-5)=0$.

Per confrontare due numeri relativi bastano tre regole:

• un positivo è sempre maggiore di un negativo: $+1>-100$;
• tra due positivi è maggiore quello con valore assoluto più grande: $+8>+3$;
• tra due negativi è maggiore quello con valore assoluto più piccolo: $-3>-8$.

Addizione e sottrazione

Il perché è semplice se pensi ai soldi. Se hai un debito di 4 euro e ne fai un altro di 6, i debiti si accumulano: $-10$. Se hai 5 euro e un debito di 8, paghi quello che puoi e resti sotto di 3: $-3$.

La sottrazione si trasforma sempre in un'addizione. Togliere un debito equivale a ricevere soldi: per questo $-(-3)$ diventa $+3$.

Nella pratica, quando trovi un segno davanti a una parentesi con un solo numero, lo «togli» così:

• $+(+3)=+3$ e $-(-3)=+3$ (segni uguali, più);
• $+(-3)=-3$ e $-(+3)=-3$ (segni diversi, meno).

Così una catena come $-4-(-6)+(-3)-(+2)$ diventa $-4+6-3-2$, e la fai da sinistra a destra: $-4+6=2$, poi $2-3=-1$, poi $-1-2=-3$.

Togliere una parentesi con più termini

La stessa regola vale quando dentro la parentesi ci sono più numeri. Se la parentesi è preceduta dal più, la togli e lasci tutto com'è. Se è preceduta dal meno, la togli e cambi il segno a ogni termine che c'era dentro:

$$7-(3-5+2-8)=7-3+5-2+8=15$$

Puoi controllare facendo prima la parentesi: $3-5+2-8=-8$, e $7-(-8)=15$. Lo stesso risultato. L'errore più comune è cambiare il segno solo al primo termine e lasciare gli altri come sono: il meno davanti alla parentesi agisce su tutto quello che c'è dentro.

Le proprietà dell'addizione

Con i numeri relativi l'addizione resta commutativa e associativa: puoi cambiare l'ordine dei termini e raggrupparli come ti è comodo, purché ogni numero si porti dietro il suo segno. Per esempio $-5+8-6$ si può riscrivere come $8-5-6$: il risultato è sempre $-3$. La sottrazione invece non è commutativa: $3-9=-6$, ma $9-3=+6$. Per questo conviene trasformare subito ogni sottrazione in un'addizione con l'opposto.

Moltiplicazione e divisione: la regola dei segni

Perché meno per meno fa più? Moltiplicare per $-1$ significa prendere l'opposto: $(-1)\cdot 6=-6$. Se prendi l'opposto di un numero che è già negativo, torni dall'altra parte dello zero: $(-1)\cdot (-6)=+6$. È come dire «non è vero che non ho studiato»: due negazioni fanno un'affermazione.

Con più fattori conta solo quanti segni meno ci sono: se sono in numero pari il risultato è positivo, se sono dispari è negativo. Ad esempio $(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)=-6$, perché i meno sono tre.

Potenze con base negativa

La regola dei segni spiega anche le potenze. Una potenza è una moltiplicazione ripetuta, quindi conta quante volte compare il meno:

• esponente pari, risultato positivo: $(-2{)}^4=(-2)(-2)(-2)(-2)=+16$;
• esponente dispari, risultato negativo: $(-2{)}^3=(-2)(-2)(-2)=-8$.

Attenzione alle parentesi. In $(-2{)}^4$ la base è $-2$. In $-2^4$ la base è solo 2, e il meno resta fuori: $-2^4=-(2^4)=-16$. Le proprietà delle potenze valgono anche con i numeri relativi: le trovi tutte nell'articolo sulle proprietà delle potenze.

Espressioni con i numeri relativi svolte

L'ordine è quello di sempre: prima le parentesi tonde, poi le quadre, poi le graffe. Dentro ogni parentesi: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, infine addizioni e sottrazioni.

Esempio 1

$$-3+[(-2)\cdot (+5)-(-4)]:(-3)$$

1. Dentro la quadra, prima il prodotto: $(-2)\cdot (+5)=-10$.
2. Poi la sottrazione: $-10-(-4)=-10+4=-6$.
3. Resta $-3+(-6):(-3)$. La divisione viene prima della somma: $(-6):(-3)=+2$.
4. Infine $-3+2=-1$.

Esempio 2

$$(-2{)}^3-[(+12):(-4)+(-1{)}^5]\cdot (-2)$$

1. Le potenze: $(-2{)}^3=-8$ e $(-1{)}^5=-1$.
2. Dentro la quadra: $(+12):(-4)=-3$, poi $-3+(-1)=-4$.
3. Resta $-8-(-4)\cdot (-2)$. Prima il prodotto: $(-4)\cdot (-2)=+8$.
4. Infine $-8-(+8)=-16$.

Esempio 3

$$\{-5+[3-(2-7)]:(-2){\}}^2:(-3{)}^2$$

1. Tonda: $2-7=-5$.
2. Quadra: $3-(-5)=3+5=8$.
3. Graffa: $8:(-2)=-4$, poi $-5+(-4)=-9$.
4. Potenze: $(-9{)}^2=81$ e $(-3{)}^2=9$.
5. Infine $81:9=9$.

Due problemi dalla vita reale

La temperatura. Alle 6 del mattino il termometro segna $-4$ gradi, alle 14 segna $+7$. Di quanto è salita la temperatura? La variazione è «arrivo meno partenza»: $(+7)-(-4)=7+4=11$ gradi. Se di sera scende di 9 gradi rispetto alle 14, arriva a $7-9=-2$ gradi.

Il conto. Sul conto hai 150 euro. Paghi due spese da 80 e 95 euro e ricevi 40 euro. Con i numeri relativi: $+150-80-95+40$. Positivi: $150+40=190$. Negativi: $-80-95=-175$. Saldo finale: $190-175=+15$ euro. Se avessi pagato anche una terza spesa da 20 euro, saresti andato sotto: $15-20=-5$.

Nei problemi il trucco è sempre lo stesso: decidi qual è il punto zero (lo zero gradi, il conto vuoto, il livello del mare) e dai il segno più a tutto quello che sta sopra e il segno meno a tutto quello che sta sotto.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola $(-9)+(+4)$.

Mostra la soluzione

Segni diversi: $9-4=5$ e tieni il segno del 9, che è meno. Risultato: $-5$.

2. Calcola $(-3)-(+7)$.

Mostra la soluzione

Sottrarre $+7$ vuol dire sommare $-7$: $(-3)+(-7)=-10$.

3. Calcola $(-8)\cdot (-3)$ e $(+45):(-9)$.

Mostra la soluzione

• $(-8)\cdot (-3)=+24$ (segni uguali).
• $(+45):(-9)=-5$ (segni diversi).

Livello medio

4. Calcola $-4-(-6)+(-3)-(+2)$.

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Togli le parentesi: $-4+6-3-2$. Positivi: $+6$. Negativi: $-4-3-2=-9$. Risultato: $6-9=-3$.

5. Calcola $(-2{)}^5$ e $-(-2{)}^4$.

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• $(-2{)}^5=-32$, perché l'esponente è dispari.
• $(-2{)}^4=+16$, e il meno davanti lo rende $-16$.

6. Calcola $(-12):(+3)-(-5)\cdot (-2)$.

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1. $(-12):(+3)=-4$.
2. $(-5)\cdot (-2)=+10$.
3. $-4-(+10)=-14$.

Livello verifica

7. Calcola $[(-3{)}^2-(+4)\cdot (-2)]:(-17)$.

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1. $(-3{)}^2=9$ e $(+4)\cdot (-2)=-8$.
2. Nella quadra: $9-(-8)=9+8=17$.
3. $17:(-17)=-1$.

8. Calcola $-2\cdot \{5-[(-6):(+2)-(-1{)}^3{]}^2\}$.

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1. $(-6):(+2)=-3$ e $(-1{)}^3=-1$.
2. Nella quadra: $-3-(-1)=-3+1=-2$.
3. $(-2{)}^2=4$, quindi nella graffa: $5-4=1$.
4. $-2\cdot 1=-2$.

9. Calcola $(-1{)}^{100}+(-1{)}^{99}-(-2{)}^2\cdot (-3)$.

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1. $(-1{)}^{100}=+1$ (esponente pari), $(-1{)}^{99}=-1$ (dispari), $(-2{)}^2=4$.
2. $4\cdot (-3)=-12$.
3. $1-1-(-12)=0+12=12$.

10. Metti in ordine dal più piccolo al più grande: $-5$, $+2$, $-12$, $0$, $-1$.

Mostra la soluzione

$-12<-5<-1<0<+2$. Tra i negativi è più piccolo quello con valore assoluto più grande.

Dove si usano dopo

I numeri relativi non spariscono dopo il secondo capitolo: tornano ovunque. Li ritrovi nelle espressioni con le frazioni, dove le frazioni possono essere negative, nei monomi, dove il coefficiente ha il segno, e nelle equazioni di primo grado, dove spostare un termine da un membro all'altro significa cambiargli il segno. Se vuoi vedere dove stanno nel programma dell'anno, c'è la panoramica sulla matematica di prima superiore. E se vuoi provare espressioni sempre nuove con la correzione passo per passo, apri Allenati online.