Equazioni letterali: come si discutono, spiegato semplice, con esercizi svolti

Le equazioni letterali sono equazioni di primo grado in cui, oltre alla $x$, compaiono altre lettere: $a$, $b$, $k$. Queste lettere si chiamano parametri e stanno al posto di numeri che non conosci. Il metodo per risolverle è lo stesso delle equazioni normali, con un passaggio in più che i prof chiedono sempre: la discussione. Qui trovi come si fa, con il perché, 5 esempi svolti, gli errori più frequenti, le formule inverse e 7 esercizi con soluzione.

Se non sei ancora sicuro sulle equazioni con i numeri, parti dalle equazioni di primo grado: qui do per scontato il metodo base.

Che cos'è un'equazione letterale

Guarda questa equazione:

L'incognita è $x$; la lettera $a$ è un parametro, cioè un numero fissato che però non ti dicono. Se $a=1$ l'equazione è $x=3$; se $a=6$ è $6x=3$ e la soluzione è $\frac{1}{2}$; se $a=0$ diventa $0=3$, che è falso. Ecco il punto: la soluzione cambia a seconda del parametro, e in certi casi l'equazione può diventare impossibile o indeterminata.

Per capire quale lettera è l'incognita guarda il testo: «nell'incognita $x$», «risolvi rispetto a $x$». Tutte le altre lettere le tratti esattamente come numeri: si sommano, si moltiplicano, si raccolgono.

La regola della discussione

Qualsiasi equazione letterale di primo grado si può portare alla forma:

dove $A$ (il coefficiente della $x$) e $B$ (il termine noto) sono espressioni che contengono il parametro.

Il perché è tutto qui: per zero non si può dividere. Con i numeri vedi subito se il coefficiente è zero; con le lettere no, perché $a-2$ vale zero quando $a=2$. Quindi prima di dividere devi chiederti: «quando questo coefficiente vale zero?».

Il metodo passo per passo

1. Svolgi i calcoli come in un'equazione normale (parentesi, denominatori).
2. Porta a sinistra tutti i termini che contengono la $x$, anche quelli con il parametro; a destra tutto il resto.
3. Raccogli la $x$ a fattor comune: ottieni $A\cdot x=B$.
4. Scomponi $A$ e $B$ se puoi: ti serve per trovare gli zeri e per semplificare la soluzione.
5. Trova i valori del parametro per cui $A=0$ e fai la discussione.

Esempi svolti

Esempio 1

Porto a sinistra i termini con la $x$: $ax-2x=a+2$. Raccolgo: $(a-2)x=a+2$.

• Se $a\ne 2$: $x=\frac{a+2}{a-2}$, equazione determinata.
• Se $a=2$: diventa $0\cdot x=4$, impossibile.

Esempio 2: serve scomporre

Scompongo il coefficiente: $(a-1)(a+1)x=a+1$. Il coefficiente si annulla per $a=1$ e per $a=-1$: sono due casi da studiare.

• Se $a\ne 1$ e $a\ne -1$: $x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1}$.
• Se $a=1$: $0\cdot x=2$, impossibile.
• Se $a=-1$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

Senza scomporre non avresti visto il caso $a=-1$, e senza discussione la semplificazione sarebbe stata un errore.

Esempio 3: soluzione zero

Qui il parametro è $b$. Svolgo: $bx-b=x-b$, quindi $bx-x=-b+b$, cioè $(b-1)x=0$.

• Se $b\ne 1$: $x=0$. Determinata, e la soluzione è zero (va benissimo).
• Se $b=1$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

Esempio 4: il parametro al denominatore

Prima di tutto: $a$ sta al denominatore, quindi deve essere $a\ne 0$. Per $a=0$ l'equazione perde significato (non è né impossibile né indeterminata: proprio non esiste).

Con $a\ne 0$ moltiplico per il m.c.m. $2a$: $2x-2a=ax$, quindi $2x-ax=2a$, cioè $(2-a)x=2a$.

• Se $a\ne 2$ (e $a\ne 0$): $x=\frac{2a}{2-a}$.
• Se $a=2$: $0\cdot x=4$, impossibile.

Esempio 5: soluzione semplice dopo la scomposizione

Raccolgo a sinistra e a destra: $(a+1)x=a(a+1)$.

• Se $a\ne -1$: $x=\frac{a(a+1)}{a+1}=a$.
• Se $a=-1$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

Le formule inverse

C'è un secondo tipo di equazione letterale che userai ovunque, anche in fisica: ricavare una lettera da una formula. Il metodo è identico: la lettera che cerchi è l'incognita, tutte le altre sono numeri.

Dall'area del trapezio $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$ ricavo l'altezza $h$. Moltiplico per $2$: $2A=(B+b)\cdot h$. Divido per $(B+b)$, che è positivo perché somma di due lunghezze:

Se invece voglio la base minore $b$: da $2A=(B+b)\cdot h$ divido per $h$ e ottengo $\frac{2A}{h}=B+b$, quindi $b=\frac{2A}{h}-B$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Risolvi e discuti nell'incognita $x$.

Livello base

1. $2ax=6$

Mostra la soluzione

Il coefficiente è $2a$, zero per $a=0$.

• Se $a\ne 0$: $x=\frac{6}{2a}=\frac{3}{a}$.
• Se $a=0$: $0=6$, impossibile.

2. $ax+1=x+a$

Mostra la soluzione

$ax-x=a-1$, cioè $(a-1)x=a-1$.

• Se $a\ne 1$: $x=1$.
• Se $a=1$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

3. $ax-x=a^2+1$

Mostra la soluzione

$(a-1)x=a^2+1$.

• Se $a\ne 1$: $x=\frac{a^2+1}{a-1}$.
• Se $a=1$: $0\cdot x=2$, impossibile.

Livello medio

4. $(a+3)x=a^2-9$

Mostra la soluzione

Scompongo il termine noto: $(a+3)x=(a-3)(a+3)$.

• Se $a\ne -3$: $x=a-3$.
• Se $a=-3$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

5. $(a^2-4)x=a-2$

Mostra la soluzione

$(a-2)(a+2)x=a-2$. Il coefficiente si annulla per $a=2$ e $a=-2$.

• Se $a\ne \pm 2$: $x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a+2}$.
• Se $a=2$: $0\cdot x=0$, indeterminata.
• Se $a=-2$: $0\cdot x=-4$, impossibile.

Livello verifica

6. $\frac{x}{a}+x=1+a$

Mostra la soluzione

Condizione: $a\ne 0$ (per $a=0$ l'equazione perde significato). Moltiplico per $a$: $x+ax=a+a^2$, cioè $(1+a)x=a(1+a)$.

• Se $a\ne -1$ e $a\ne 0$: $x=a$.
• Se $a=-1$: $0\cdot x=0$, indeterminata.

7. Dalla formula $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$ ricava $b$, poi calcolalo con $A=30$, $B=8$, $h=5$.

Mostra la soluzione

$b=\frac{2A}{h}-B$. Con i numeri: $b=\frac{60}{5}-8=12-8=4$. Controllo: $\frac{(8+4)\cdot 5}{2}=\frac{60}{2}=30$.

Per andare avanti

La discussione delle equazioni letterali si regge tutta sulla scomposizione dei polinomi: se non riesci a trovare gli zeri del coefficiente, il problema è lì. Quando il parametro o la $x$ finiscono al denominatore entrano in gioco le frazioni algebriche e le equazioni fratte, con le loro condizioni di esistenza. Per ripassare il metodo base con i numeri torna alle equazioni di primo grado, e per esercitarti gratis c'è Allenati online.