Media, mediana e moda: come si calcolano, quando usarle ed esercizi svolti

Media, mediana e moda sono i tre numeri con cui la statistica riassume un gruppo di dati in un valore solo. La media si ottiene sommando e dividendo, la mediana è il dato che sta in mezzo dopo averli ordinati, la moda è quello che compare più spesso. Qui trovi come si calcolano tutti e tre (anche con un numero pari di dati e con le tabelle di frequenza), quando conviene usare l'uno o l'altro, la media ponderata, il calcolo del voto che ti serve, gli errori da verifica ed esercizi con soluzioni.

A cosa servono

Immagina di avere i voti di matematica di Giulia nel primo quadrimestre: 6, 7, 5, 8, 7. Cinque numeri si leggono in fretta, ma se fossero i voti di tutta la scuola servirebbe un numero solo per dire «com'è andata». Media, mediana e moda si chiamano indici di posizione centrale: ognuno risponde a una domanda leggermente diversa.

• La media dice quanto toccherebbe a ciascuno se si dividesse tutto in parti uguali.
• La mediana dice qual è il valore che divide i dati a metà: metà stanno sotto, metà sopra.
• La moda dice qual è il valore più frequente.

La media aritmetica

Per i voti di Giulia:

$$M=\frac{6+7+5+8+7}{5}=\frac{33}{5}=6,6$$

La media può essere un numero che non compare tra i dati (nessun voto di Giulia è 6,6), e va bene così.

Una proprietà utile: la somma dei dati è sempre uguale a media per numero dei dati. Cioè $33=6,6\cdot 5$. Da qui viene il trucco per calcolare il voto che ti serve, che vediamo più avanti.

La mediana

Dati dispari. I voti di Giulia in ordine sono 5, 6, 7, 7, 8. Sono cinque, il centrale è il terzo: la mediana è 7.

Dati pari. Luca annota i minuti di studio di sei giorni: 30, 45, 20, 60, 45, 40. In ordine: 20, 30, 40, 45, 45, 60. I due centrali sono il terzo e il quarto, 40 e 45:

$$\text{mediana}=\frac{40+45}{2}=42,5$$

Nello stesso esempio la media è $\frac{240}{6}=40$ minuti.

La moda

La moda è il dato che compare più volte (quello con la frequenza più alta). Nei voti di Giulia il 7 compare due volte, tutti gli altri una: la moda è 7. Nei minuti di Luca la moda è 45.

Tre casi da conoscere:

• se nessun valore si ripete, la moda non c'è;
• se due valori hanno la stessa frequenza massima, ci sono due mode (distribuzione bimodale);
• la moda funziona anche con dati che non sono numeri. Se chiedi alla classe lo sport preferito e il calcio prende più voti, la moda è «calcio». Di «calcio» non puoi fare la media.

Quale usare: media o mediana?

Sei amici confrontano la paghetta settimanale: 10, 10, 15, 15, 20 e 100 euro (uno dei sei ha un nonno molto generoso).

• Media: $\frac{170}{6}\approx 28,33$ euro.
• Mediana: dati già in ordine, i centrali sono 15 e 15, quindi 15 euro.
• Moda: 10 e 15 compaiono due volte ciascuno, quindi ci sono due mode.

Quale numero descrive meglio la paghetta «tipica»? La mediana: cinque amici su sei prendono 20 euro o meno, mentre la media di 28 euro è gonfiata da quell'unico 100. È il motivo per cui nei giornali, per stipendi e prezzi delle case, si legge spesso la mediana.

La regola pratica: se i dati sono abbastanza omogenei usa la media; se c'è qualche valore estremo che la falsa, usa la mediana; se i dati non sono numeri, puoi usare solo la moda.

Tabelle di frequenza e media ponderata

Dalle tabelle di frequenza

In verifica i dati arrivano spesso in tabella. Una classe di 20 studenti risponde alla domanda «quanti fratelli o sorelle hai?»:

Media: ogni valore va moltiplicato per la sua frequenza (lo 0 compare 5 volte, l'1 compare 9 volte, e così via):

$$M=\frac{0\cdot 5+1\cdot 9+2\cdot 4+3\cdot 2}{20}=\frac{23}{20}=1,15$$

Mediana: i dati sono 20, quindi servono il 10° e l'11°. Conta le frequenze cumulate: i primi 5 dati sono 0, dal 6° al 14° sono 1. Il 10° e l'11° valgono entrambi 1, quindi la mediana è 1.

Moda: il valore con la frequenza più alta (9) è 1.

La media ponderata e il voto che ti serve

La media ponderata si usa quando i dati non contano tutti allo stesso modo. Se il prof dice che lo scritto vale doppio rispetto all'orale e hai preso 6 allo scritto e 8 all'orale:

$$M=\frac{6\cdot 2+8\cdot 1}{2+1}=\frac{20}{3}\approx 6,67$$

In pratica è come se il 6 comparisse due volte.

Quanto devo prendere? Hai 5, 6 e 7 e vuoi arrivare a 6,5 di media dopo il quarto voto. La somma dei quattro voti deve essere $6,5\cdot 4=26$. Ne hai già $5+6+7=18$, quindi ti serve $26-18=8$.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Esercizio 1. Calcola media, mediana e moda di: 4, 8, 6, 10, 7.

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• Media: $\frac{35}{5}=7$.
• Mediana: in ordine 4, 6, 7, 8, 10, il centrale è 7.
• Moda: nessun valore si ripete, quindi non c'è moda.

Esercizio 2. Calcola media, mediana e moda di: 3, 5, 5, 6, 9, 2.

Mostra la soluzione

• Media: $\frac{30}{6}=5$.
• Mediana: in ordine 2, 3, 5, 5, 6, 9; i centrali sono 5 e 5, quindi 5.
• Moda: 5.

Livello medio

Esercizio 3. Calcola media, mediana e moda di: 12, 15, 11, 15, 20, 15, 10, 14.

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• Media: la somma è 112, i dati sono 8, quindi $\frac{112}{8}=14$.
• Mediana: in ordine 10, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 20; i centrali sono 14 e 15, quindi 14,5.
• Moda: 15 (compare tre volte).

Esercizio 4. La media di cinque numeri è 12. Quattro di essi sono 10, 14, 8 e 15. Qual è il quinto?

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La somma dei cinque deve essere $12\cdot 5=60$. I quattro noti danno $10+14+8+15=47$, quindi il quinto è $60-47=13$.

Esercizio 5. Hai preso 5, 7, 6 e 8. Quanto devi prendere al quinto voto per avere 7 di media?

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Somma necessaria: $7\cdot 5=35$. Somma attuale: $5+7+6+8=26$. Ti serve $35-26=9$.

Livello verifica

Esercizio 6. In una classe di 20 studenti si registra il numero di scarpe: 38 (3 studenti), 39 (5), 40 (8), 41 (4). Calcola media, mediana e moda.

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• Media: $\frac{38\cdot 3+39\cdot 5+40\cdot 8+41\cdot 4}{20}=\frac{114+195+320+164}{20}=\frac{793}{20}=39,65$.
• Mediana: servono il 10° e l'11° dato. Frequenze cumulate: 3, 8, 16, 20. Il 10° e l'11° stanno tra il 9° e il 16°, cioè valgono 40. Mediana 40.
• Moda: 40 (frequenza 8).

Esercizio 7. Tre verifiche hanno pesi diversi: 7 con peso 3, 5 con peso 1, 8 con peso 2. Calcola la media ponderata.

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$M=\frac{7\cdot 3+5\cdot 1+8\cdot 2}{3+1+2}=\frac{21+5+16}{6}=\frac{42}{6}=7$.

Esercizio 8. Si chiede a 12 ragazzi il colore preferito: blu 5, rosso 3, verde 2, nero 2. Quali indici si possono calcolare?

Mostra la soluzione

I dati non sono numeri, quindi media e mediana non hanno senso. Si può calcolare solo la moda: blu, con frequenza 5.

La statistica nel resto del programma

Nella statistica di prima superiore le frequenze si scrivono spesso in percentuale (la frequenza relativa del blu nell'esercizio 8 è $\frac{5}{12}\approx 41,7\%$), e le medie con i decimali richiedono di saper lavorare con le frazioni: se ti servono, ripassa le espressioni con le frazioni. Per vedere dove si colloca la statistica nell'anno guarda il programma di matematica di prima superiore, e se hai la verifica a breve leggi come prepararsi alla verifica di matematica.