Frazioni: cosa sono e come si fanno le operazioni, con esempi e problemi svolti

Le frazioni servono a dire «una parte di un intero»: tre fette su otto di una pizza sono $\frac{3}{8}$. Per lavorarci bene ti servono poche idee chiare: cosa vuol dire una frazione, quando due frazioni sono uguali anche se sembrano diverse, come si confrontano e come si fanno le quattro operazioni. Qui le trovi tutte con il perché, insieme a quattro problemi svolti, agli errori tipici e a undici esercizi con soluzione. Quando avrai preso confidenza, il passo successivo sono le espressioni con le frazioni.

Che cos'è una frazione

In $\frac{a}{b}$ il numero sotto, il denominatore $b$, dice in quante parti uguali dividi l'intero. Il numero sopra, il numeratore $a$, dice quante di quelle parti prendi. Il denominatore non può essere zero: non puoi dividere una pizza in zero fette.

Una frazione è anche una divisione: $\frac{3}{8}$ vuol dire $3:8=0,375$. Tieni a mente questa doppia lettura, perché spiega quasi tutte le regole.

Le frazioni si dividono in tre famiglie:

• proprie, con il numeratore minore del denominatore: $\frac{3}{4}$ è meno di un intero;
• improprie, con il numeratore maggiore: $\frac{7}{4}$ è più di un intero (un intero e $\frac{3}{4}$);
• apparenti, con il numeratore multiplo del denominatore: $\frac{8}{4}=2$ è un numero intero travestito.

Frazioni equivalenti e semplificazione

Mezza pizza è sempre mezza pizza, sia che la tagli in 2 fette e ne prendi 1, sia che la tagli in 6 e ne prendi 3. Per questo $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$: sono frazioni equivalenti.

Per capire al volo se due frazioni sono equivalenti fai i prodotti in croce. Con $\frac{6}{8}$ e $\frac{9}{12}$: $6\cdot 12=72$ e $8\cdot 9=72$. I prodotti sono uguali, quindi le frazioni sono equivalenti (valgono entrambe $\frac{3}{4}$).

Semplificare una frazione vuol dire usare la proprietà invariantiva al contrario: dividi sopra e sotto per lo stesso numero, finché non c'è più niente in comune. Quando arrivi lì, la frazione è ridotta ai minimi termini. Il modo più veloce è dividere subito per il M.C.D.:

$$\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}$$

Se non vedi subito il M.C.D., semplifica a piccoli passi con i criteri di divisibilità: per 2, poi per 3, e così via. Il calcolo del M.C.D. è spiegato nell'articolo su m.c.m. e M.C.D..

Confrontare e ordinare le frazioni

Tre casi:

• stesso denominatore: è più grande quella con il numeratore più grande, $\frac{5}{9}>\frac{2}{9}$ (stesse fette, ne prendi di più);
• stesso numeratore: è più grande quella con il denominatore più piccolo, $\frac{3}{5}>\frac{3}{7}$ (stesso numero di fette, ma le fette sono più grandi);
• tutto diverso: porti le frazioni allo stesso denominatore con il m.c.m. e confronti i numeratori.

Confrontiamo $\frac{5}{8}$ e $\frac{7}{12}$. Il m.c.m. di 8 e 12 è 24: $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$ e $\frac{7}{12}=\frac{14}{24}$. Quindi $\frac{5}{8}>\frac{7}{12}$, anche se 7 e 12 «sembrano» più grandi.

Per ordinarne tante il metodo è lo stesso. Con $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{5}$ e $\frac{5}{8}$ il m.c.m. è 120 e ottieni $\frac{80}{120}$, $\frac{72}{120}$ e $\frac{75}{120}$. Ordine crescente:

$$\frac{3}{5}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$$

Le quattro operazioni con le frazioni

Addizione e sottrazione

Si possono sommare solo fette della stessa grandezza. Per $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}$ cerchi il m.c.m. di 12 e 18, che è 36. Poi dividi 36 per ogni denominatore e moltiplichi per il numeratore:

$$\frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}$$

La sottrazione funziona allo stesso modo: $\frac{11}{15}-\frac{3}{10}=\frac{22}{30}-\frac{9}{30}=\frac{13}{30}$.

Un numero intero è una frazione con denominatore 1, quindi $2+\frac{3}{5}=\frac{10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{13}{5}$.

Moltiplicazione

Qui non serve il denominatore comune. Prima di moltiplicare, semplifica tutto quello che puoi, anche in croce (un numeratore con il denominatore dell'altra frazione):

$$\frac{14}{15}\cdot \frac{25}{21}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{9}$$

Il 14 e il 21 si semplificano per 7 (diventano 2 e 3), il 25 e il 15 per 5 (diventano 5 e 3).

La moltiplicazione serve anche per la frazione di un numero: i $\frac{3}{4}$ di 60 sono $\frac{3}{4}\cdot 60=45$. In pratica dividi per il denominatore ($60:4=15$) e moltiplichi per il numeratore ($15\cdot 3=45$).

Divisione

Il reciproco di una frazione è la frazione capovolta: il reciproco di $\frac{4}{15}$ è $\frac{15}{4}$. Lo zero non ha reciproco. Dividere per una frazione vuol dire moltiplicare per il suo reciproco:

$$\frac{8}{9}:\frac{4}{15}=\frac{8}{9}\cdot \frac{15}{4}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{1}=\frac{10}{3}$$

Perché? Chiediti quante volte $\frac{1}{2}$ sta in 3: in ogni intero ci sono due mezzi, quindi in 3 ce ne sono 6. E infatti $3:\frac{1}{2}=3\cdot 2=6$.

Potenze di frazioni e frazioni decimali

Per elevare a potenza una frazione elevi il numeratore e il denominatore. Il segno segue le regole dei numeri relativi:

$${\left(-\frac{2}{5}\right)}^3=-\frac{8}{125}{\left(\frac{3}{4}\right)}^0=1{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$$

Con l'esponente negativo capovolgi la frazione e usi l'esponente positivo. Tutte le regole sono nell'articolo sulle proprietà delle potenze.

Ogni frazione si può scrivere come numero decimale, facendo la divisione: $\frac{3}{8}=0,375$. E ogni frazione con denominatore 100 è una percentuale: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\%$. Se ti servono gli sconti e gli aumenti, leggi l'articolo sulla percentuale o usa la calcolatrice percentuale.

Problemi con le frazioni

Problema 1: la parte di un intero

Un libro ha 240 pagine e Marco ne ha lette i $\frac{2}{5}$. Quante pagine ha letto e quante gliene mancano?

Ha letto $\frac{2}{5}\cdot 240=96$ pagine (perché $240:5=48$ e $48\cdot 2=96$). Gli mancano $240-96=144$ pagine.

Problema 2: dalla parte all'intero

I $\frac{3}{7}$ di un numero valgono 21. Qual è il numero?

Se 3 parti valgono 21, una parte vale $21:3=7$. Le parti sono 7 in tutto, quindi il numero è $7\cdot 7=49$. In un colpo solo: $21:\frac{3}{7}=21\cdot \frac{7}{3}=49$.

Problema 3: quanto resta

Anna mangia $\frac{1}{4}$ di una torta e Luca $\frac{1}{3}$. Quanta torta resta?

Insieme mangiano $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$. Resta $1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$ della torta.

Problema 4: la frazione del resto

Di uno stipendio, una persona spende $\frac{1}{3}$ per l'affitto e poi $\frac{1}{4}$ di quello che resta per la spesa. Che frazione dello stipendio le rimane?

1. Dopo l'affitto resta $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
2. La spesa è $\frac{1}{4}$ di $\frac{2}{3}$: $\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$ dello stipendio.
3. Rimane $\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

La parola chiave è «del resto»: la seconda frazione non si calcola sull'intero ma su quello che è rimasto.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Riduci ai minimi termini $\frac{45}{60}$.

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Il M.C.D. di 45 e 60 è 15: $\frac{45:15}{60:15}=\frac{3}{4}$.

2. $\frac{18}{24}$ e $\frac{21}{28}$ sono equivalenti?

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Prodotti in croce: $18\cdot 28=504$ e $24\cdot 21=504$. Sono uguali, quindi sì: valgono entrambe $\frac{3}{4}$.

3. Calcola i $\frac{5}{8}$ di 72.

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$72:8=9$ e $9\cdot 5=45$.

4. Calcola $\frac{7}{10}+\frac{4}{15}$ e $\frac{5}{6}-\frac{3}{8}$.

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• m.c.m. 30: $\frac{21}{30}+\frac{8}{30}=\frac{29}{30}$.
• m.c.m. 24: $\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{11}{24}$.

Livello medio

5. Metti in ordine crescente $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{9}$.

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Il m.c.m. di 4, 6 e 9 è 36: $\frac{27}{36}$, $\frac{30}{36}$, $\frac{28}{36}$. Quindi $\frac{3}{4}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}$.

6. Calcola $\frac{9}{10}\cdot \frac{35}{27}$.

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In croce: 9 con 27 (diventano 1 e 3), 35 con 10 (diventano 7 e 2). $\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{6}$.

7. Calcola $\frac{12}{25}:\frac{18}{35}$.

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Reciproco: $\frac{12}{25}\cdot \frac{35}{18}$. 12 con 18 (diventano 2 e 3), 35 con 25 (diventano 7 e 5). $\frac{2}{5}\cdot \frac{7}{3}=\frac{14}{15}$.

8. Calcola ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4$.

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Esponente pari, risultato positivo: $\frac{3^4}{2^4}=\frac{81}{16}$.

Livello verifica

9. I $\frac{5}{9}$ di un numero valgono 35. Qual è il numero?

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Una parte vale $35:5=7$, le parti sono 9: il numero è $7\cdot 9=63$. Oppure $35:\frac{5}{9}=35\cdot \frac{9}{5}=63$.

10. Giulia ha 200 euro. Spende i $\frac{2}{5}$ in vestiti e poi metà di quello che le resta in un regalo. Quanti euro le rimangono? Che frazione dei 200 euro è?

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1. Vestiti: $\frac{2}{5}\cdot 200=80$ euro. Restano $200-80=120$.
2. Regalo: metà del resto, $120:2=60$ euro.
3. Rimangono $120-60=60$ euro, cioè $\frac{60}{200}=\frac{3}{10}$.

Con le frazioni: $1-\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{10}{10}-\frac{4}{10}-\frac{3}{10}=\frac{3}{10}$.

11. Quale frazione è più grande, $\frac{11}{13}$ o $\frac{13}{15}$?

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Prodotti in croce: $11\cdot 15=165$ e $13\cdot 13=169$. Siccome $165<169$, è più grande $\frac{13}{15}$. (A ogni frazione manca una parte per arrivare a 1: a $\frac{11}{13}$ mancano $\frac{2}{13}$, a $\frac{13}{15}$ mancano $\frac{2}{15}$, che è meno.)

Il passo successivo

Con le operazioni sicure, sei pronto per metterle insieme: nelle espressioni con le frazioni trovi il metodo con le parentesi e sedici esempi svolti, e negli esercizi sulle espressioni una raccolta da fare da solo. Le frazioni tornano anche nelle proporzioni, che sono uguaglianze tra due rapporti, e più avanti nelle frazioni algebriche, dove al posto dei numeri ci sono i polinomi ma le regole restano le stesse. Per allenarti con frazioni sempre nuove c'è Allenati online.