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Espressioni algebriche con monomi e polinomi: il metodo, gli esempi e gli esercizi svolti

Espressioni algebriche con monomi e polinomi passo per passo: ordine delle operazioni, parentesi, prodotti notevoli e valore numerico. Con esercizi.

di Appunti Vivi · 8 novembre 2026 · 9 minuti di lettura

Adatto a: 1ª superiore

Un'espressione algebrica lunga scritta su un quaderno, con le parentesi tonde, quadre e graffe colorate in modo diverso e frecce numerate che indicano l'ordine in cui svolgere i passaggi

In breve

Un'espressione algebrica si semplifica con lo stesso ordine delle espressioni con i numeri: prima le parentesi dalla più interna, poi le potenze e i prodotti notevoli, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, infine somme e sottrazioni tra termini simili. Il passaggio che fa sbagliare di più è togliere una parentesi preceduta dal meno senza cambiare tutti i segni.

Le espressioni algebriche sono espressioni con numeri e lettere, come $3 (x - 2) - 2 [x - (4 - x)] + x$ , da semplificare fino a un monomio o a un polinomio ridotto. Si risolvono con lo stesso ordine delle espressioni con i numeri, più qualche attenzione in più su segni, potenze e prodotti notevoli. Qui trovi l'ordine delle operazioni, un metodo in cinque passi, esempi svolti dal facile al livello verifica, il valore numerico, gli errori che i prof segnano in rosso ed esercizi con soluzione.

Le regole sulle singole operazioni le diamo per note: se ti servono, ripassa le operazioni con i monomi, somma e prodotto dei polinomi e le formule dei prodotti notevoli. Qui le mettiamo insieme.

Che cos'è un'espressione algebrica

Un'espressione algebrica (o letterale) è una catena di operazioni tra numeri e lettere. Le lettere stanno al posto di numeri qualsiasi, quindi tutte le regole che valgono per i numeri valgono anche per loro: le proprietà delle operazioni, la regola dei segni, le proprietà delle potenze.

La differenza con le espressioni numeriche è che alla fine non ottieni (quasi mai) un numero, ma un'espressione più corta. Semplificare vuol dire fare tutte le operazioni che si possono fare e ridurre i termini simili, finché non resta niente da fare.

L'ordine delle operazioni

È lo stesso ordine che usi con i numeri. Se vuoi allenarlo prima sui numeri, c'è una raccolta di esercizi sulle espressioni con naturali, interi, potenze e frazioni.

Il punto 3 è quello che si dimentica più spesso. In $12 a^{4} : 3 a^{2} \cdot 2 a$ la divisione viene prima, perché è a sinistra:

12 a^{4} : 3 a^{2} \cdot 2 a = 4 a^{2} \cdot 2 a = 8 a^{3}

Se moltiplicassi prima $3 a^{2} \cdot 2 a$ , otterresti $12 a^{4} : 6 a^{3} = 2 a$ , che è sbagliato.

Il metodo in cinque passi

Davanti a un'espressione lunga, non partire a scrivere a caso. Fai così:

Guarda la struttura. Individua le parentesi, i prodotti notevoli, i segni meno davanti alle parentesi.
Sviluppa potenze e prodotti notevoli, e tieni ogni risultato tra parentesi.
Fai i prodotti e le divisioni (numero per parentesi, monomio per polinomio, polinomio per polinomio).
Togli le parentesi: se davanti c'è un meno, cambia il segno a tutti i termini dentro.
Riduci i termini simili e controlla con una sostituzione.

Il passo 2, tenere tutto tra parentesi, sembra una perdita di tempo. Non lo è: è esattamente quello che evita l'errore più comune delle espressioni algebriche, che vedrai più sotto.

Esempi svolti

Esempio 1: solo monomi

Semplifica $[(3 x^{2} y)^{2} : (- x^{3} y) + 4 x \cdot (- 2 y)] \cdot (- 2 x)$ .

Potenza: $(3 x^{2} y)^{2} = 9 x^{4} y^{2}$ .
Divisione: $9 x^{4} y^{2} : (- x^{3} y) = - 9 x y$ .
Prodotto: $4 x \cdot (- 2 y) = - 8 x y$ .
Dentro la quadra ci sono due monomi simili: $- 9 x y - 8 x y = - 17 x y$ .
Ultimo prodotto: $- 17 x y \cdot (- 2 x) = 34 x^{2} y$ .

Risultato: $34 x^{2} y$

Esempio 2: parentesi annidate

Semplifica $3 (x - 2) - 2 [x - (4 - x)] + x$ .

Parentesi tonda dentro la quadra: $x - (4 - x) = x - 4 + x = 2 x - 4$ .
Prodotti: $3 (x - 2) = 3 x - 6$ e $- 2 (2 x - 4) = - 4 x + 8$ .
Ora hai $3 x - 6 - 4 x + 8 + x$ .
Riduci: $3 x - 4 x + x = 0$ e $- 6 + 8 = 2$ .

Risultato: $2$ . Le $x$ si sono cancellate: l'espressione vale $2$ per qualunque valore di $x$ .

Esempio 3: prodotti notevoli dentro l'espressione

Semplifica $(2 a - 1)^{2} - (a + 3) (a - 3) - 3 a (a - 2)$ .

Quadrato di binomio: $(2 a - 1)^{2} = 4 a^{2} - 4 a + 1$ .
Somma per differenza, tra parentesi: $(a + 3) (a - 3) = (a^{2} - 9)$ .
Monomio per polinomio: $3 a (a - 2) = (3 a^{2} - 6 a)$ .
Togli le parentesi con i segni giusti:

4 a^{2} - 4 a + 1 - a^{2} + 9 - 3 a^{2} + 6 a

Riduci: $4 a^{2} - a^{2} - 3 a^{2} = 0$ ; $- 4 a + 6 a = 2 a$ ; $1 + 9 = 10$ .

Risultato: $2 a + 10$

Esempio 4: livello verifica

Semplifica $[(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}]^{2} : (8 x) - (x + 2) (x - 2)$ .

Dentro la quadra: $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x$ .
Potenza della quadra: $(4 x)^{2} = 16 x^{2}$ .
Divisione: $16 x^{2} : (8 x) = 2 x$ .
Somma per differenza: $(x + 2) (x - 2) = (x^{2} - 4)$ .
$2 x - (x^{2} - 4) = 2 x - x^{2} + 4$ .

Risultato, ordinato: $- x^{2} + 2 x + 4$

Il valore numerico di un'espressione algebrica

A volte l'esercizio chiede: «calcola il valore dell'espressione per $a = - 3$ e $b = \frac{1}{2}$ ». Puoi sostituire subito, ma di solito conviene semplificare prima e sostituire alla fine.

Esempio 5

Calcola il valore di $(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ per $a = - 3$ e $b = \frac{1}{2}$ .

Prima semplifichi:

(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} - a^{2} + 2 ab - b^{2} = 4 ab

Poi sostituisci: $4 \cdot (- 3) \cdot \frac{1}{2} = - 6$ .

Se avessi sostituito subito, avresti dovuto calcolare $(- \frac{5}{2})^{2} - (- \frac{7}{2})^{2} = \frac{25}{4} - \frac{49}{4} = - 6$ . Stesso risultato, ma con frazioni e quadrati di negativi: più occasioni per sbagliare.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Semplifica $2 a^{2} b - 3 a \cdot ab - 2 (- a)^{2} b$ .

Mostra la soluzione

$3 a \cdot ab = 3 a^{2} b$
$(- a)^{2} = a^{2}$ , quindi $2 (- a)^{2} b = 2 a^{2} b$
$2 a^{2} b - 3 a^{2} b - 2 a^{2} b = - 3 a^{2} b$

2. Semplifica $(- 2 x)^{3} + 5 x \cdot x^{2} - 6 x^{4} : (2 x)$ .

Mostra la soluzione

$(- 2 x)^{3} = - 8 x^{3}$
$5 x \cdot x^{2} = 5 x^{3}$
$6 x^{4} : (2 x) = 3 x^{3}$
$- 8 x^{3} + 5 x^{3} - 3 x^{3} = - 6 x^{3}$

3. Semplifica $4 (2 y - 1) - 3 (y + 2) + (y - 5)$ .

Mostra la soluzione

$8 y - 4 - 3 y - 6 + y - 5 = 6 y - 15$

Livello medio

4. Semplifica $2 x - {3 - [x - (2 x - 1)] + 4 x}$ .

Mostra la soluzione

Tonda: $x - (2 x - 1) = x - 2 x + 1 = - x + 1$
Quadra tolta con il meno davanti: $3 - (- x + 1) + 4 x = 3 + x - 1 + 4 x = 5 x + 2$
Graffa: $2 x - (5 x + 2) = 2 x - 5 x - 2$

Risultato: $- 3 x - 2$

5. Semplifica $(x + 4) (x - 1) - (x + 2)^{2}$ .

Mostra la soluzione

$(x + 4) (x - 1) = x^{2} - x + 4 x - 4 = x^{2} + 3 x - 4$
$(x + 2)^{2} = (x^{2} + 4 x + 4)$
$x^{2} + 3 x - 4 - x^{2} - 4 x - 4$

Risultato: $- x - 8$

6. Semplifica $(3 m + 2) (3 m - 2) - (3 m - 1)^{2}$ .

Mostra la soluzione

$(3 m + 2) (3 m - 2) = 9 m^{2} - 4$
$(3 m - 1)^{2} = (9 m^{2} - 6 m + 1)$
$9 m^{2} - 4 - 9 m^{2} + 6 m - 1$

Risultato: $6 m - 5$

Livello verifica

7. Semplifica $(a + 1)^{3} - (a - 1)^{3}$ .

Mostra la soluzione

$(a + 1)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1$
$(a - 1)^{3} = (a^{3} - 3 a^{2} + 3 a - 1)$
$a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1 - a^{3} + 3 a^{2} - 3 a + 1$

Risultato: $6 a^{2} + 2$

8. Semplifica $(x + 2 y)^{2} - x (x + 4 y) - (2 y - 1) (2 y + 1)$ .

Mostra la soluzione

$(x + 2 y)^{2} = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$
$x (x + 4 y) = (x^{2} + 4 x y)$
$(2 y - 1) (2 y + 1) = (4 y^{2} - 1)$
$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} + 1$

Risultato: $1$

9. Semplifica $[(x^{2} - 1)^{2} - (x^{2} + 1)^{2}] : (- 2 x)$ .

Mostra la soluzione

$(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ e $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Differenza: $x^{4} - 2 x^{2} + 1 - x^{4} - 2 x^{2} - 1 = - 4 x^{2}$
Divisione: $- 4 x^{2} : (- 2 x) = 2 x$

Risultato: $2 x$

10. Calcola il valore di $(2 x - 3)^{2} - 4 x (x - 3)$ per $x = - \frac{5}{2}$ .

Mostra la soluzione

Prima semplifichi: $4 x^{2} - 12 x + 9 - 4 x^{2} + 12 x = 9$ .

L'espressione vale $9$ per qualunque $x$ , quindi anche per $x = - \frac{5}{2}$ . Non serve nemmeno sostituire.

11. Calcola il valore di $[(a + b) (a - b) + b^{2}] : a - a (a - 1)$ per $a = - 3$ e $b = 5$ .

Mostra la soluzione

$(a + b) (a - b) + b^{2} = a^{2} - b^{2} + b^{2} = a^{2}$
$a^{2} : a = a$
$a - a (a - 1) = a - a^{2} + a = - a^{2} + 2 a$
Sostituisci $a = - 3$ : $- (- 3)^{2} + 2 \cdot (- 3) = - 9 - 6 = - 15$

Risultato: $- 15$ . La $b$ sparisce, quindi il suo valore non conta.

Dove si usano le espressioni algebriche

Saper semplificare un'espressione letterale serve in quasi tutto quello che viene dopo. Nelle equazioni di primo grado il primo lavoro è proprio semplificare i due membri; nella scomposizione dei polinomi fai il cammino inverso. Se in questi esercizi gli errori arrivano soprattutto dai prodotti notevoli, allenali a parte con gli esercizi sui prodotti notevoli svolti, poi torna qui.

Domande frequenti

Che cos'è un'espressione algebrica?

È un'espressione in cui compaiono numeri e lettere legati da operazioni, per esempio 3(x − 2) − 2x. Si chiama anche espressione letterale. Semplificarla vuol dire fare tutte le operazioni possibili fino ad arrivare a un monomio o a un polinomio ridotto.

In che ordine si fanno le operazioni in un'espressione algebrica?

Prima le parentesi, dalla più interna: tonde, poi quadre, poi graffe. Dentro ogni parentesi fai prima le potenze e i prodotti notevoli, poi moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui le trovi da sinistra a destra, infine somme e sottrazioni dei termini simili.

Si sviluppano prima i prodotti notevoli o le moltiplicazioni?

Prima i prodotti notevoli e le potenze, perché un quadrato o un cubo sono potenze. Se davanti c'è un numero o un segno meno, sviluppa il prodotto notevole tenendo il risultato tra parentesi e solo dopo moltiplica per quel numero o togli la parentesi cambiando i segni.

Come si calcola il valore numerico di un'espressione algebrica?

Conviene quasi sempre semplificare prima l'espressione e sostituire i numeri solo alla fine, quando i conti sono molto più brevi. Quando sostituisci un numero negativo o una frazione, mettilo sempre tra parentesi. Puoi usare la sostituzione anche come prova del risultato.

È normale che un'espressione algebrica dia un numero come risultato?

Sì. Capita spesso che le lettere si cancellino tutte e resti un numero, per esempio 2 o anche 0. Vuol dire che l'espressione vale sempre quel numero, qualunque valore dai alle lettere. Se ti succede, controlla con una sostituzione e poi stai tranquillo.

Questo articolo è pensato per: 1ª superiore

Espressioni algebriche con monomi e polinomi: il metodo, gli esempi e gli esercizi svolti

Che cos'è un'espressione algebrica

L'ordine delle operazioni

Il metodo in cinque passi

Esempi svolti

Esempio 1: solo monomi

Esempio 2: parentesi annidate

Esempio 3: prodotti notevoli dentro l'espressione

Esempio 4: livello verifica

Il valore numerico di un'espressione algebrica

Esempio 5

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Livello medio

Livello verifica

Dove si usano le espressioni algebriche

Domande frequenti

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