Radicali: proprietà, semplificazione e razionalizzazione, con esercizi svolti

I radicali sono le radici: $\sqrt{9}$, $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt{2}$. In seconda superiore impari a lavorarci come con le potenze: semplificarli, moltiplicarli, portare fuori i fattori, sommarli quando si può e togliere le radici dal denominatore. Qui trovi tutto con il perché, gli errori che costano punti, e dodici esercizi con soluzione. Una premessa: quasi ogni regola sui radicali è una regola sulle potenze travestita, quindi tieni sotto mano le proprietà delle potenze.

Che cos'è un radicale

Così $\sqrt{9}=3$ perché $3^2=9$, e $\sqrt[3]{8}=2$ perché $2^3=8$. Per convenzione la radice quadrata di un numero positivo è sempre il valore positivo: $\sqrt{9}=3$, non $-3$, anche se pure $(-3{)}^2=9$.

L'indice cambia tutto quando il radicando è negativo:

• indice dispari: la radice esiste sempre. $\sqrt[3]{-8}=-2$, perché $(-2{)}^3=-8$;
• indice pari: nei numeri reali la radice di un numero negativo non esiste. $\sqrt{-4}$ non ha significato, perché nessun numero al quadrato dà un risultato negativo.

Molte radici non sono numeri «belli»: $\sqrt{2}=1,41421\dots$ ha infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono mai. È un numero irrazionale, e per questo conviene lasciarlo scritto come $\sqrt{2}$ invece di approssimarlo.

Le condizioni di esistenza

Quando sotto la radice ci sono delle lettere, devi dire per quali valori il radicale ha senso: sono le condizioni di esistenza (C.E.).

Ad esempio:

• $\sqrt{x-3}$: C.E. $x-3\ge 0$, cioè $x\ge 3$;
• $\sqrt[3]{x-3}$: esiste per ogni $x$;
• $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$: C.E. $x-2>0$, cioè $x>2$.

Attenzione a un caso famoso: $\sqrt{x^2}$ non è $x$, ma $|x|$. Se $x=-5$, infatti, $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$, che è il valore assoluto di $-5$. Negli esercizi che seguono, quando ci sono lettere, supponiamo che rappresentino numeri positivi o nulli, così ci si concentra sui calcoli.

Le proprietà dei radicali

Proprietà invariantiva

Se moltiplichi o dividi indice ed esponente del radicando per lo stesso numero, il radicale non cambia (con radicando positivo o nullo):

$$\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt{3}$$

Serve per semplificare e per portare due radicali allo stesso indice, che è il primo passo per moltiplicarli. Il nuovo indice è il m.c.m. degli indici:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{8\cdot 9}=\sqrt[6]{72}$$

Prodotto e quoziente

Con lo stesso indice, il prodotto di due radicali è il radicale del prodotto, e lo stesso vale per il quoziente:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$$

Così $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ e $\sqrt{50}:\sqrt{2}=\sqrt{25}=5$. Il perché è la proprietà delle potenze $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$ letta al contrario.

Potenza e radice di radice

Per elevare a potenza un radicale elevi il radicando; per fare la radice di una radice moltiplichi gli indici:

$${\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2=\sqrt[3]{4}\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[6]{5}$$

Portare fuori e dentro dalla radice

Portare fuori. Scomponi il radicando in fattori primi (il metodo è nell'articolo sui numeri primi) e cerca i fattori con esponente almeno uguale all'indice. Ogni gruppo di $n$ fattori uguali esce dalla radice come un fattore solo:

$$\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot 3^2}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$$

Con le lettere funziona allo stesso modo, dividendo ogni esponente per l'indice: il quoziente esce, il resto rimane dentro.

$$\sqrt{a^3{b}^5}=a{b}^2\sqrt{ab}$$

Portare dentro. È il passaggio al contrario: il fattore entra elevato all'indice. Il segno, però, resta fuori:

$$3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}-2\sqrt{3}=-\sqrt{4\cdot 3}=-\sqrt{12}$$

Portare dentro serve soprattutto per confrontare due radicali: $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ e $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, quindi $2\sqrt{5}$ è il più grande.

Somme di radicali e prodotti notevoli

Due radicali sono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Solo i radicali simili si sommano, e si sommano come i monomi simili: sommi i coefficienti.

$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$

Spesso i radicali diventano simili solo dopo aver portato fuori:

$$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0$$

Se non diventano simili, la somma resta così: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ non si semplifica.

I prodotti notevoli valgono anche con i radicali, e sono il cuore della razionalizzazione:

$${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$$

$$\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$$

La somma per differenza fa sparire le radici: è proprio quello che serve nel prossimo paragrafo.

Razionalizzare il denominatore

Razionalizzare vuol dire togliere le radici dal denominatore, moltiplicando sopra e sotto per lo stesso fattore (la frazione non cambia, per la proprietà invariantiva).

Caso 1: una radice quadrata. Moltiplichi per la radice stessa.

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Caso 2: una radice con indice più alto. Moltiplichi per il radicale che completa l'esponente fino all'indice.

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

Caso 3: un binomio con radici. Moltiplichi per lo stesso binomio con il segno in mezzo cambiato, così sotto ottieni una differenza di quadrati.

$$\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}=\sqrt{5}+1$$

$$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3-2}=2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$$

Per lavorare con i radicali senza fatica servono basi solide di prima: potenze, scomposizione in fattori, prodotti notevoli. Se qualcosa ti è rimasto indietro, è il momento di sistemarlo.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

1. Calcola $\sqrt{\frac{4}{25}}\cdot \sqrt[3]{-27}$.

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$\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$ e $\sqrt[3]{-27}=-3$. Il prodotto è $\frac{2}{5}\cdot (-3)=-\frac{6}{5}$.

2. Scrivi le condizioni di esistenza di $\sqrt{2x-6}$, $\sqrt[3]{x+1}$ e $\sqrt{5-x}$.

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• $\sqrt{2x-6}$: $2x-6\ge 0$, cioè $x\ge 3$.
• $\sqrt[3]{x+1}$: indice dispari, esiste per ogni $x$.
• $\sqrt{5-x}$: $5-x\ge 0$, cioè $x\le 5$.

3. Semplifica $\sqrt[6]{27}$ e $\sqrt[10]{32}$.

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• $\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt{3}$ (dividi indice ed esponente per 3).
• $\sqrt[10]{32}=\sqrt[10]{2^5}=\sqrt{2}$ (dividi per 5).

4. Porta fuori dalla radice: $\sqrt{200}$, $\sqrt[3]{250}$, $\sqrt{12a^3}$.

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• $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
• $\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}$.
• $\sqrt{12a^3}=\sqrt{4\cdot 3\cdot a^2\cdot a}=2a\sqrt{3a}$.

Livello medio

5. Calcola $2\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{80}$.

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1. Porti fuori: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.
2. $6\sqrt{5}-2\sqrt{5}+4\sqrt{5}=8\sqrt{5}$.

6. Calcola ${\left(2\sqrt{3}-1\right)}^2$.

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Quadrato di binomio: $(2\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1+1^2=12-4\sqrt{3}+1=13-4\sqrt{3}$.

7. Scrivi come un unico radicale $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$.

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m.c.m. degli indici: 6. $\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}$ e $\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^2}$, quindi il prodotto è $\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}$.

8. Calcola ${\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)}^2$.

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Conviene prima sommare: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, quindi $2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. Poi $(3\sqrt{3}{)}^2=9\cdot 3=27$.

Livello verifica

9. Razionalizza $\frac{10}{\sqrt{5}}$ e $\frac{3}{\sqrt[3]{9}}$.

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• $\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$.
• $9=3^2$, quindi moltiplichi per $\sqrt[3]{3}$: $\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}$.

10. Razionalizza $\frac{6}{\sqrt{7}+1}$.

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Moltiplichi sopra e sotto per $\sqrt{7}-1$:

$$\frac{6\left(\sqrt{7}-1\right)}{7-1}=\frac{6\left(\sqrt{7}-1\right)}{6}=\sqrt{7}-1$$

11. Calcola $\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)+\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}$.

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1. Somma per differenza: $6-2=4$.
2. $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{16}=4$.
3. $4+4=8$.

12. Quale è più grande tra $4\sqrt{3}$ e $3\sqrt{5}$?

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Porti dentro: $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$ e $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$. Siccome $48>45$, è più grande $4\sqrt{3}$.

Dove ritrovi i radicali

I radicali spuntano appena c'è un quadrato da «disfare». Nel teorema di Pitagora la diagonale di un quadrato di lato 1 è proprio $\sqrt{2}$, e nel teorema di Euclide le altezze e i cateti escono spesso sotto radice. Per semplificarli e razionalizzarli userai in continuazione la scomposizione in numeri primi e i prodotti notevoli: se uno dei due ti fa ancora paura, ripassalo prima di andare avanti.