Teorema di Euclide: primo e secondo teorema spiegati semplici, con formule ed esercizi svolti

I due teoremi di Euclide sono gli attrezzi da usare quando in un triangolo rettangolo compare l'altezza relativa all'ipotenusa. Il primo collega un cateto con l'ipotenusa e con la sua proiezione, il secondo collega l'altezza con le due proiezioni. Qui trovi gli enunciati con un disegno a parole, il perché spiegato con la similitudine, il legame con Pitagora, la tabella delle formule inverse, esempi svolti, gli errori che i prof segnano in rosso ed esercizi con le soluzioni.

La figura e i nomi da sapere

Prendi un triangolo rettangolo $ABC$ con l'angolo retto in $A$. L'ipotenusa è $BC$, i cateti sono $AB$ e $AC$. Dal vertice $A$ abbassa la perpendicolare sull'ipotenusa: il piede è il punto $H$, e il segmento $AH$ è l'altezza relativa all'ipotenusa.

Il punto $H$ divide l'ipotenusa in due pezzi:

• $BH$ è la proiezione del cateto $AB$ sull'ipotenusa (il pezzo che parte da $B$, cioè dallo stesso vertice del cateto $AB$);
• $HC$ è la proiezione del cateto $AC$ sull'ipotenusa;
• insieme formano tutta l'ipotenusa: $BH+HC=BC$.

Tutto l'argomento si regge su questi cinque segmenti: due cateti, ipotenusa, altezza e due proiezioni. Se li segni bene sul disegno, metà del lavoro è fatto.

Il primo teorema di Euclide

In parole: il cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione. Se ti serve un ripasso su medi, estremi e medio proporzionale, lo trovi nelle proporzioni.

Esempio veloce: ipotenusa 25 cm, proiezione di $AB$ lunga 9 cm. Allora $A{B}^2=25\cdot 9=225$ e $AB=15$ cm.

Il secondo teorema di Euclide

Esempio veloce: le proiezioni sono 4 cm e 9 cm. Allora $A{H}^2=4\cdot 9=36$ e $AH=6$ cm.

Perché valgono: la similitudine in parole semplici

Due triangoli sono simili quando hanno gli stessi angoli: uno è l'ingrandimento (o il rimpicciolimento) dell'altro. Nei triangoli simili i lati corrispondenti sono in proporzione, cioè il rapporto tra due lati di un triangolo è lo stesso del rapporto tra i lati corrispondenti dell'altro. Per i triangoli bastano due angoli uguali: il terzo è uguale per forza, perché la somma è sempre $180°$.

L'altezza $AH$ divide il triangolo $ABC$ in due triangoli più piccoli, $ABH$ e $AHC$, entrambi rettangoli in $H$. Ora guarda gli angoli.

Per il primo teorema. Confronta il triangolo grande $ABC$ con il piccolo $HBA$. Hanno l'angolo $\hat{B}$ in comune e un angolo retto ciascuno ($\hat{A}$ nel grande, $\hat{H}$ nel piccolo). Due angoli uguali: sono simili. Allora l'ipotenusa del grande sta all'ipotenusa del piccolo come il cateto $AB$ del grande sta al cateto $BH$ del piccolo:

$$BC:AB=AB:BH\Rightarrow A{B}^2=BC\cdot BH$$

L'ultimo passaggio è la proprietà fondamentale: prodotto dei medi uguale prodotto degli estremi.

Per il secondo teorema. Confronta i due triangoli piccoli $HBA$ e $HAC$. Entrambi hanno l'angolo retto in $H$. Inoltre l'angolo $B\hat{A}H$ è uguale all'angolo $\hat{C}$, perché tutti e due sommati all'angolo $\hat{B}$ danno $90°$ (in $ABH$ e in $ABC$). Quindi i due triangoli sono simili, e il cateto minore sta al cateto maggiore nello stesso rapporto in entrambi:

$$BH:AH=AH:HC\Rightarrow A{H}^2=BH\cdot HC$$

In molti libri di seconda gli stessi teoremi si dimostrano anche con l'equivalenza: si fa vedere, con una catena di parallelogrammi, che il quadrato sul cateto e il rettangolo hanno la stessa area. Il risultato è identico, cambia solo la strada.

Il legame con Pitagora e le formule inverse

Il primo teorema contiene già il teorema di Pitagora. Scrivilo per tutti e due i cateti e somma:

$$A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot BH+BC\cdot HC=BC\cdot (BH+HC)=BC\cdot BC=B{C}^2$$

Nel passaggio centrale hai raccolto $BC$ a fattor comune, e $BH+HC$ è proprio l'ipotenusa. Quindi Pitagora è una conseguenza di Euclide.

Un'altra formula che torna sempre: l'area del triangolo si può calcolare con i due cateti oppure con ipotenusa e altezza, quindi $AB\cdot AC=BC\cdot AH$. Da qui:

$$AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}$$

Ecco tutte le formule che servono negli esercizi, con $c$ = cateto, $i$ = ipotenusa, $p$ = proiezione di quel cateto, $h$ = altezza, $p_1$ e $p_2$ = le due proiezioni:

Molti risultati escono come radici non intere ($\sqrt{52}=2\sqrt{13}$): se ti serve semplificarle, ripassa i radicali.

Esempi svolti

1. Ipotenusa e una proiezione. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa misura 25 cm e la proiezione di un cateto 9 cm. Trova tutto il resto.

• Primo cateto: $\sqrt{25\cdot 9}=\sqrt{225}=15$ cm.
• Altra proiezione: $25-9=16$ cm.
• Secondo cateto: $\sqrt{25\cdot 16}=\sqrt{400}=20$ cm.
• Altezza: $\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12$ cm. Controllo con l'area: $\frac{15\cdot 20}{25}=12$.

2. Le due proiezioni. Le proiezioni dei cateti misurano 4 cm e 9 cm.

• Altezza: $\sqrt{4\cdot 9}=6$ cm.
• Ipotenusa: $4+9=13$ cm.
• Cateti: $\sqrt{13\cdot 4}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7,21$ cm e $\sqrt{13\cdot 9}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\approx 10,82$ cm.

3. Cateto e ipotenusa. Un cateto misura 12 cm e l'ipotenusa 20 cm. Trova le proiezioni e l'altezza.

• Proiezione del cateto: $\frac{12^2}{20}=\frac{144}{20}=7,2$ cm.
• Altra proiezione: $20-7,2=12,8$ cm.
• Altezza: $\sqrt{7,2\cdot 12,8}=\sqrt{92,16}=9,6$ cm. Controllo: l'altro cateto è $\sqrt{400-144}=16$ e $\frac{12\cdot 16}{20}=9,6$.

4. Altezza e una proiezione. L'altezza relativa all'ipotenusa misura 12 cm e una proiezione 16 cm.

• Altra proiezione (secondo teorema): $\frac{12^2}{16}=\frac{144}{16}=9$ cm.
• Ipotenusa: $16+9=25$ cm.
• Cateti (primo teorema): $\sqrt{25\cdot 16}=20$ cm e $\sqrt{25\cdot 9}=15$ cm.

5. Perimetro e area. Un cateto misura 30 cm e la sua proiezione sull'ipotenusa 18 cm. Trova perimetro e area.

• Ipotenusa: $\frac{30^2}{18}=\frac{900}{18}=50$ cm.
• Altra proiezione: $50-18=32$ cm; altro cateto: $\sqrt{50\cdot 32}=\sqrt{1600}=40$ cm.
• Perimetro: $30+40+50=120$ cm. Area: $\frac{30\cdot 40}{2}=600$ cm².

Euclide si appoggia su cose che si fanno in prima: triangoli, criteri di congruenza, Pitagora, proporzioni. Se quelle basi traballano, conviene sistemarle prima di andare avanti.

Gli errori da verifica

Esercizi con soluzioni

Livello base

Esercizio 1. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 20 cm e la proiezione di un cateto 5 cm. Quanto misura quel cateto?

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Primo teorema: $c=\sqrt{20\cdot 5}=\sqrt{100}=10$ cm.

Esercizio 2. Le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misurano 2 cm e 8 cm. Quanto misura l'altezza relativa all'ipotenusa?

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Secondo teorema: $h=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$ cm.

Esercizio 3. Un cateto misura 9 cm e la sua proiezione sull'ipotenusa 5,4 cm. Trova l'ipotenusa.

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$i=\frac{c^2}{p}=\frac{81}{5,4}=15$ cm. (È la terna 9, 12, 15.)

Livello medio

Esercizio 4. L'altezza relativa all'ipotenusa misura 6 cm e una proiezione 3 cm. Trova l'altra proiezione, l'ipotenusa e i cateti.

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• Altra proiezione: $\frac{6^2}{3}=12$ cm.
• Ipotenusa: $3+12=15$ cm.
• Cateti: $\sqrt{15\cdot 3}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6,71$ cm e $\sqrt{15\cdot 12}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13,42$ cm.

Controllo con l'area: $\frac{3\sqrt{5}\cdot 6\sqrt{5}}{15}=\frac{90}{15}=6$, che è proprio l'altezza.

Esercizio 5. I cateti misurano 5 cm e 12 cm. Trova l'ipotenusa, le proiezioni e l'altezza relativa all'ipotenusa.

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• Ipotenusa: $\sqrt{25+144}=13$ cm.
• Proiezioni: $\frac{25}{13}\approx 1,92$ cm e $\frac{144}{13}\approx 11,08$ cm (somma 13).
• Altezza: $\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}\approx 4,62$ cm.

Esercizio 6. Un cateto misura 24 cm e l'ipotenusa 40 cm. Trova le proiezioni, l'altro cateto e l'altezza.

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• Proiezione del cateto: $\frac{576}{40}=14,4$ cm; altra proiezione: $40-14,4=25,6$ cm.
• Altro cateto: $\sqrt{40\cdot 25,6}=\sqrt{1024}=32$ cm.
• Altezza: $\frac{24\cdot 32}{40}=19,2$ cm. Controllo: $\sqrt{14,4\cdot 25,6}=\sqrt{368,64}=19,2$.

Livello verifica

Esercizio 7. Le proiezioni dei cateti misurano 1,96 cm e 23,04 cm. Trova perimetro e area del triangolo.

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• Ipotenusa: $1,96+23,04=25$ cm.
• Cateti: $\sqrt{25\cdot 1,96}=\sqrt{49}=7$ cm e $\sqrt{25\cdot 23,04}=\sqrt{576}=24$ cm.
• Perimetro: $7+24+25=56$ cm. Area: $\frac{7\cdot 24}{2}=84$ cm².

Controllo: l'altezza è $\sqrt{1,96\cdot 23,04}=6,72$ e anche $\frac{7\cdot 24}{25}=6,72$.

Esercizio 8. L'ipotenusa misura 16 cm e la proiezione di un cateto è un quarto dell'ipotenusa. Trova i cateti e l'altezza.

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• Proiezioni: $\frac{16}{4}=4$ cm e $16-4=12$ cm.
• Cateti: $\sqrt{16\cdot 4}=8$ cm e $\sqrt{16\cdot 12}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\approx 13,86$ cm.
• Altezza: $\sqrt{4\cdot 12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx 6,93$ cm.

Esercizio 9 (sfida, serve l'equazione di secondo grado). L'ipotenusa misura 26 cm e l'altezza relativa all'ipotenusa 12 cm. Trova le proiezioni dei cateti.

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Chiama $x$ una proiezione: l'altra è $26-x$. Per il secondo teorema:

$$x(26-x)=144\Rightarrow x^2-26x+144=0$$

Scomponi cercando due numeri con somma 26 e prodotto 144: sono 8 e 18. Quindi $(x-8)(x-18)=0$ e le proiezioni sono 8 cm e 18 cm (le due soluzioni sono le due proiezioni). Controllo: $8\cdot 18=144$.

Da qui in avanti

I teoremi di Euclide chiudono il blocco sul triangolo rettangolo iniziato con il teorema di Pitagora, e la loro dimostrazione con la similitudine è la stessa idea delle proporzioni applicata ai lati. Se nelle dimostrazioni ti servono triangoli uguali e non solo simili, ripassa i criteri di congruenza dei triangoli. E siccome quasi ogni esercizio finisce con una radice quadrata, tieni a portata di mano i radicali.