Esercizi sulle disequazioni: 28 disequazioni svolte, intere, sistemi e fratte

$2x>10$, quindi $x>5$, cioè $(5;+\infty )$.

$-x\le -3$. Moltiplico per $-1$ e giro: $x\ge 3$, cioè $[3;+\infty )$.

$5x-3x\ge -6-2$, cioè $2x\ge -8$, quindi $x\ge -4$. Divido per $2$, positivo: il verso resta.

$-4x-2x<15-3$, cioè $-6x<12$. Divido per $-6$ e giro: $x>-2$, cioè $(-2;+\infty )$.

Controllo con $x=0$: $3<15$, vero. E infatti $0>-2$.

$2x+10>7-x$, cioè $3x>-3$, quindi $x>-1$.

• $-x+3+2x\le 5x+5$
• $x+3\le 5x+5$
• $-4x\le 2$, divido per $-4$ e giro: $x\ge -\frac{1}{2}$

$x^2-4x+4>x^2-6x$. Gli $x^2$ si cancellano: $-4x+6x>-4$, cioè $2x>-4$, quindi $x>-2$.

$x^2-1\le x^2+6x+9$, cioè $-6x\le 10$. Divido per $-6$ e giro: $x\ge -\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}$.

m.c.m. $=10$: $5x-2x<30$, cioè $3x<30$, quindi $x<10$.

m.c.m. $=12$: $3(x-3)\ge 2(2x+1)$.

• $3x-9\ge 4x+2$
• $-x\ge 11$, giro: $x\le -11$, cioè $(-\infty ;-11]$

m.c.m. $=6$: $2(x+1)-3(x-1)>x$.

• $2x+2-3x+3>x$
• $-x+5>x$
• $-2x>-5$, giro: $x<\frac{5}{2}$

$3x-3-3x<0$, cioè $-3<0$: vero. Sempre verificata, per ogni $x\in \mathbb{R}$.

$x^2+4x+4\le x^2+4x$, cioè $4\le 0$: falso. Nessuna soluzione, $S=\varnothing$.

$2x+2\ge 2x+2$, cioè $0\ge 0$: vero, perché c'è l'uguale. Sempre verificata. Con il solo $>$ sarebbe stata impossibile.

$x>1$ e $x<4$: soluzione $1<x<4$, cioè $(1;4)$.

La prima: $2x\ge -2$, $x\ge -1$. La seconda: $-x>-5$, giro, $x<5$. Soluzione $-1\le x<5$, cioè $[-1;5)$.

La prima: $x\le 2$. La seconda: divido per $-2$ e giro, $x>-4$. Soluzione $-4<x\le 2$, cioè $(-4;2]$.

La prima: $\frac{x}{2}>1$, $x>2$. La seconda: $x\le 3$. Soluzione $2<x\le 3$, cioè $(2;3]$.

La prima: $4x>4$, $x>1$. La seconda: $2x<2$, $x<1$. Nessun numero è insieme maggiore e minore di $1$: impossibile.

Le tre soluzioni: $x>-2$, $x<5$, $x\ge \frac{3}{2}$. La condizione $x>-2$ è già contenuta in $x\ge \frac{3}{2}$. Soluzione $\frac{3}{2}\le x<5$, cioè $\left[\frac{3}{2};5\right)$.

• N $>0$ per $x>-3$; D $>0$ per $x>4$.
• Segni della frazione: $+$ per $x<-3$, $-$ tra $-3$ e $4$, $+$ per $x>4$.
• Servono i $+$ e lo zero del numeratore (c'è l'uguale), non lo zero del denominatore.

Soluzione: $x\le -3$ oppure $x>4$.

N $>0$ per $x>3$; D $>0$ per $x>-1$. La frazione è negativa tra i due zeri: $-1<x<3$, cioè $(-1;3)$.

Il numeratore $5$ è sempre positivo, quindi conta solo il denominatore: serve $x-2>0$, cioè $x>2$.

Non si moltiplica per $x-3$: porto l'$1$ a sinistra e faccio un'unica frazione.

Il numeratore $4$ è positivo e non si annulla mai, quindi serve $x-3<0$: $x<3$.

Tre fattori: $x-1>0$ per $x>1$; $x+2>0$ per $x>-2$; $x-5>0$ per $x>5$.

• per $x<-2$: $(-)(-)/(-)=-$
• tra $-2$ e $1$: $(-)(+)/(-)=+$
• tra $1$ e $5$: $(+)(+)/(-)=-$
• per $x>5$: $(+)(+)/(+)=+$

Soluzione: $-2<x<1$ oppure $x>5$.

N $\ge 0$ per $x\ge 5$; D $>0$ per $x>-2$. Segni: $+$, $-$, $+$. Soluzione: $x<-2$ oppure $x\ge 5$.

Porto tutto a sinistra con il denominatore comune $(x-1)(x+1)$:

Il numeratore è positivo e mai zero. Il denominatore è positivo per $x<-1$ e per $x>1$ (negativo in mezzo). Soluzione: $x<-1$ oppure $x>1$. Gli estremi sono esclusi perché annullano il denominatore.

$x$ = numero di ingressi (naturale). L'abbonamento conviene quando costa meno: $30+2x<5x$, cioè $-3x<-30$, giro, $x>10$.

Conviene da 11 ingressi in su. Con esattamente 10 ingressi si spende uguale: $30+20=50$ e $5\cdot 10=50$.